Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông canh \(a\), \(\widehat {SAD} = {90^0}\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều. Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trọng tâm \(\Delta SAB;\,\;\Delta SCD\), \(I\) là giao điểm của các đường thẳng \(BM;\,\;CN\). Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((AIC)\) và các mặt của hình chóp?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Ta có \(I = BM \cap CN\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)
Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Do đó \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI//AB//CD\).Vì \(SI//CD\) nên \(SI//CF\).
Theo định lý Ta – let ta có: \(\frac{{SI}}{{CF}} = \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow SI = 2CF = CD = a\).
Gọi \(J\)là giao điểm của \(SD\)và \(IC\). Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \((AIC)\)và các mặt của hình chóp là tam giác \[ACJ\].
+ Tứ giác \(SIDC\) là hình bình hành \( \Rightarrow J\)là trung điểm của \(SD,CI\)
Mặt khác, \(AC = SD = a\sqrt 2 \Rightarrow AJ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\),
+ Tứ giác \(SIAB\)là hình bình hành \[ \Rightarrow AI = AB = a\]
Xét tam giác \(IAC\)có \(C{I^2} = 2(A{C^2} + A{I^2}) - 4A{J^2} = 4{a^2} \Rightarrow CI = 2a \Rightarrow CJ = a\).
Ta có: \[\cos \widehat {CAJ} = \frac{{A{J^2} + A{C^2} - C{J^2}}}{{2.AC.AJ}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{3}{4}\]
\( \Rightarrow \sin \widehat {CAJ} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Diện thích thiết diện là \({S_{\Delta AJC}} = \frac{1}{2}AC.AJ.\sin \widehat {CAJ} = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}\)(đvdt).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Chọn B
+ Gọi \(E\)là trung điểm \(AD\), \(I = MG \cap BE\)\( \Rightarrow I = MG \cap (ABCD)\).
+ Xét \(\Delta SBI\), gọi \(H\) là trung điểm \(MB\)
Ta có \(\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EH//MG \equiv MI\)nên \(E\)là trung điểm của \(IB\), mà \(E\)cũng là trung điểm của \(AD\)nên tứ giác \(ABID\)là hình bình hành, suy ra \(DI//AB\)
Mà \(DC//AD\)do đó \(I,C,D\) thẳng hàng
+ Xét \(\Delta BCI\)có \(ED//BC\)
Mà \(E\)là trung điểm của \(AD\)
Suy ra \(D\) là trung điểm của \(CI\)
\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{ID}} = 2\) (1)
+ Gọi \(J = OI \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in AD\\J \in (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow J = AD \cap (OMG)\).
\(\)Trong \(\Delta ACI\) có\(AD,\;IO\) là các đường trung tuyến, suy ra \(J\) là trọng tâm \(\Delta ACI\),
\( \Rightarrow \frac{{JA}}{{JD}} = 2\) (2)
+ Gọi \(K = JG \cap SA \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in SA\\K \in JG \subset (OMG)\end{array} \right. \Rightarrow K = SA \cap (OMG)\)
\(\Delta SIB\)có \(SE\)là trung tuyến mà \(\frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\)suy ra \(G\)là trọng tâm \(\Delta SIB\)\(\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{2}{3}\)
Do \(\frac{{IG}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow JG//OM//SD \Rightarrow JK//SD \Rightarrow \frac{{KA}}{{KS}} = \frac{{JA}}{{JD}} = 2\)(3)
Từ (1),(2),(3) \[ \Rightarrow k = \frac{{IC}}{{ID}} + \frac{{JA}}{{JD}} + \frac{{KA}}{{KS}} = 6\]
Câu 2
Lời giải
Chọn A
Ta có :
\(CD = \tan \alpha \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \frac{1}{2}.OD.CD = \frac{1}{2}\tan \alpha \)
\[AB = \sin \alpha ,\;OA = cos\alpha \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha \]
\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{\Delta OCD}} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}\tan \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha .\cos \alpha \]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \sin \alpha .\cos \alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{1}{{\cos \alpha }} - \cos \alpha } \right)\]
\[ = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{\sin \alpha }}{2}\left( {\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}} \right) = \frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{2\cos \alpha }}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
![Chọn D Dựa vào hình vẽ ta có hai điểm \[M\,,\] \[N\] biểu diễn cho tập nghiệm của phương trình \[\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture26-1782784424.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập