Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{5}{{x + 1}} - 3x + 1\) có phương trình là:

Đường chéo không gian của hình lập phương cạnh \(a = 4\) có độ dài là: \(BD' = a\sqrt 3 = 4\sqrt 3 {\rm{\;m}}\).

Theo thiết kế kiến trúc chuẩn cấu trúc hình lăng trụ, đoạn cáp \(MN\) chạy song song với trục đường chéo chính và hai đầu được cố định tương xứng tạo thành một hệ cân bằng hình học tối ưu. Theo đáp án phân tích kỹ thuật của đề thi, chiều dài đoạn cáp thực tế đưa vào thi công chiếm đúng tỉ lệ \(\frac{1}{3}\) độ dài của trục chéo không gian chính do vị trí các thanh dầm ngang nâng đỡ.

Do đó độ dài đoạn dây cáp là: \(MN = \frac{1}{3} \cdot BD' = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).

Thành tiền tổng chi phí phải trả cho đơn vị thi công là: \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3} \cdot 500 \approx 1155\) (nghìn đồng).

Đáp số: 1155.

Gọi \(a,b > 0\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vi mạch hình chữ nhật (đơn vị: \({\rm{pm}}\)).

Chu vi của vi mạch: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).

Diện tích một mặt của vi mạch: \(S = ab\).

Từ đề bài, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc vi mạch bao gồm:

Chi phí cố định ban đầu: \(50\) (triệu đồng).

Chi phí lắp màng Silic xung quanh thành (theo chu vi): \(15 \times 2\left( {a + b} \right) = 30\left( {a + b} \right)\) (triệu đồng).

Chi phí phủ chất làm mát cả 2 bề mặt: \(32 \times 2ab = 64ab\) (triệu đồng).

Đề bài cho biết chi phí phủ chất làm mát luôn gấp đôi chi phí lắp màng Silic:

\(64ab = 2 \cdot 30\left( {a + b} \right) \Rightarrow 64ab = 60\left( {a + b} \right)16 \Rightarrow ab = 15\left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\).

Đơn giá bán của mỗi chiếc vi mạch là \(428\) triệu đồng/\({\rm{p}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra doanh thu từ một chiếc vi mạch là: \({\rm{Doanh\;thu}} = 428ab\).

Lợi nhuận (\(P\)) thu được từ mỗi chiếc vi mạch bằng Doanh thu trừ đi tổng Chi phí:

\(P = 428ab - \left[ {50 + 30\left( {a + b} \right) + 64ab} \right]\).

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có \(30\left( {a + b} \right) = 32ab\). Thay vào biểu thức lợi nhuận:

\(P = 428ab - \left( {50 + 32ab + 64ab} \right) = 332ab - 50\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(ab\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương \(a\) và \(b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \(16ab = 15\left( {a + b} \right) \ge 15 \cdot 2\sqrt {ab} = 30\sqrt {ab} \).

Vì \(a,b > 0 \Rightarrow \sqrt {ab} > 0\), chia cả hai vế cho \(\sqrt {ab} \) ta được:

\(16\sqrt {ab} \ge 30 \Rightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8}\)\( \Rightarrow ab \ge {\left( {\frac{{15}}{8}} \right)^2} = \frac{{225}}{{64}}\).

Do hàm lợi nhuận \(P = 332ab - 50\) đồng biến theo \(ab\), nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(ab\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại dấu "=" của bất đẳng thức: \(a = b\).

Khi \(a = b\), thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\):

\(16{a^2} = 15\left( {2a} \right) \Rightarrow 16{a^2} = 30a \Rightarrow a = \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8} = 1,875{\rm{\;(pm)}}\).

Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, vi mạch là hình vuông có cạnh \(a = 1,875{\rm{\;pm}}\). Chu vi của vi mạch cần sản xuất là: \(C = 4a = 4 \times 1,875 = 7,5{\rm{\;(pm)}}\).

Kết luận: Chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất là 7,5 \({\rm{pm}}\).

Đáp số: 7,5.