Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, một doanh nghiệp muốn sản xuất những chiếc vi mạch với bản thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật, kích thước a (pm) × b (pm) với 1pm = \({10^{ - 12}}\) m. Doanh nghiệp đã tính toán được các loại chi phí như sau: Công ty chi phí 50 (triệu đồng) cho tiền nguyên vật liệu nhập về ban đầu. Để sản xuất mỗi chiếc vi mạch sẽ phải chi phí 15 (triệu đồng) cho 1 pm tiền gia công lắp màng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và chi phí 32 (triệu đồng) cho 1 pm² tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Biết rằng chi phí để phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt luôn gấp đôi chi phí gia công gia công lắp màng Silic xung quanh thành của mỗi chiếc vi mạch đó. Nếu các loại chi phí thống kê như trên thì đơn giá bán ra của mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng / pm²). Hỏi khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất là bao nhiêu pm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp số: ____ .

 

Gọi \(a,b > 0\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vi mạch hình chữ nhật (đơn vị: \({\rm{pm}}\)).

Chu vi của vi mạch: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).

Diện tích một mặt của vi mạch: \(S = ab\).

Từ đề bài, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc vi mạch bao gồm:

Chi phí cố định ban đầu: \(50\) (triệu đồng).

Chi phí lắp màng Silic xung quanh thành (theo chu vi): \(15 \times 2\left( {a + b} \right) = 30\left( {a + b} \right)\) (triệu đồng).

Chi phí phủ chất làm mát cả 2 bề mặt: \(32 \times 2ab = 64ab\) (triệu đồng).

Đề bài cho biết chi phí phủ chất làm mát luôn gấp đôi chi phí lắp màng Silic:

\(64ab = 2 \cdot 30\left( {a + b} \right) \Rightarrow 64ab = 60\left( {a + b} \right)16 \Rightarrow ab = 15\left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\).

Đơn giá bán của mỗi chiếc vi mạch là \(428\) triệu đồng/\({\rm{p}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra doanh thu từ một chiếc vi mạch là: \({\rm{Doanh\;thu}} = 428ab\).

Lợi nhuận (\(P\)) thu được từ mỗi chiếc vi mạch bằng Doanh thu trừ đi tổng Chi phí:

\(P = 428ab - \left[ {50 + 30\left( {a + b} \right) + 64ab} \right]\).

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có \(30\left( {a + b} \right) = 32ab\). Thay vào biểu thức lợi nhuận:

\(P = 428ab - \left( {50 + 32ab + 64ab} \right) = 332ab - 50\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(ab\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương \(a\) và \(b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \(16ab = 15\left( {a + b} \right) \ge 15 \cdot 2\sqrt {ab} = 30\sqrt {ab} \).

Vì \(a,b > 0 \Rightarrow \sqrt {ab} > 0\), chia cả hai vế cho \(\sqrt {ab} \) ta được:

\(16\sqrt {ab} \ge 30 \Rightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8}\)\( \Rightarrow ab \ge {\left( {\frac{{15}}{8}} \right)^2} = \frac{{225}}{{64}}\).

Do hàm lợi nhuận \(P = 332ab - 50\) đồng biến theo \(ab\), nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(ab\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại dấu "=" của bất đẳng thức: \(a = b\).

Khi \(a = b\), thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\):

\(16{a^2} = 15\left( {2a} \right) \Rightarrow 16{a^2} = 30a \Rightarrow a = \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8} = 1,875{\rm{\;(pm)}}\).

Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, vi mạch là hình vuông có cạnh \(a = 1,875{\rm{\;pm}}\). Chu vi của vi mạch cần sản xuất là: \(C = 4a = 4 \times 1,875 = 7,5{\rm{\;(pm)}}\).

Kết luận: Chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất là 7,5 \({\rm{pm}}\).

Đáp số: 7,5.