Một khung nhà bằng thép có dạng hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) với độ dài cạnh bằng \(4{\rm{m}}\). Để tăng độ ổn định, các kỹ sư dự định lắp thêm đoạn dây cáp \(MN\) song song với \(BD'\) (đường chéo không gian của khung). Giả sử trên thanh thép \(AC'\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} - x\overrightarrow {MC'} = \overrightarrow 0 \) và trên thanh thép \(DC'\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {ND} = y\overrightarrow {DC'} \), trong đó \(x,y\) là các tỉ số vị trí của hai đầu dây cáp. Hỏi khi dây cáp \(MN\) được lắp đặt song song với đường chéo \(BD'\) thì chi phí cần trả cho đoạn dây cáp \(MN\) là bao nhiêu, biết giá mỗi mét dây cáp là \(500\) nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).

Đáp số: _____ .

 

Gọi \(a,b > 0\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vi mạch hình chữ nhật (đơn vị: \({\rm{pm}}\)).

Chu vi của vi mạch: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).

Diện tích một mặt của vi mạch: \(S = ab\).

Từ đề bài, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc vi mạch bao gồm:

Chi phí cố định ban đầu: \(50\) (triệu đồng).

Chi phí lắp màng Silic xung quanh thành (theo chu vi): \(15 \times 2\left( {a + b} \right) = 30\left( {a + b} \right)\) (triệu đồng).

Chi phí phủ chất làm mát cả 2 bề mặt: \(32 \times 2ab = 64ab\) (triệu đồng).

Đề bài cho biết chi phí phủ chất làm mát luôn gấp đôi chi phí lắp màng Silic:

\(64ab = 2 \cdot 30\left( {a + b} \right) \Rightarrow 64ab = 60\left( {a + b} \right)16 \Rightarrow ab = 15\left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\).

Đơn giá bán của mỗi chiếc vi mạch là \(428\) triệu đồng/\({\rm{p}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra doanh thu từ một chiếc vi mạch là: \({\rm{Doanh\;thu}} = 428ab\).

Lợi nhuận (\(P\)) thu được từ mỗi chiếc vi mạch bằng Doanh thu trừ đi tổng Chi phí:

\(P = 428ab - \left[ {50 + 30\left( {a + b} \right) + 64ab} \right]\).

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có \(30\left( {a + b} \right) = 32ab\). Thay vào biểu thức lợi nhuận:

\(P = 428ab - \left( {50 + 32ab + 64ab} \right) = 332ab - 50\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(ab\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương \(a\) và \(b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \(16ab = 15\left( {a + b} \right) \ge 15 \cdot 2\sqrt {ab} = 30\sqrt {ab} \).

Vì \(a,b > 0 \Rightarrow \sqrt {ab} > 0\), chia cả hai vế cho \(\sqrt {ab} \) ta được:

\(16\sqrt {ab} \ge 30 \Rightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8}\)\( \Rightarrow ab \ge {\left( {\frac{{15}}{8}} \right)^2} = \frac{{225}}{{64}}\).

Do hàm lợi nhuận \(P = 332ab - 50\) đồng biến theo \(ab\), nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(ab\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại dấu "=" của bất đẳng thức: \(a = b\).

Khi \(a = b\), thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\):

\(16{a^2} = 15\left( {2a} \right) \Rightarrow 16{a^2} = 30a \Rightarrow a = \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8} = 1,875{\rm{\;(pm)}}\).

Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, vi mạch là hình vuông có cạnh \(a = 1,875{\rm{\;pm}}\). Chu vi của vi mạch cần sản xuất là: \(C = 4a = 4 \times 1,875 = 7,5{\rm{\;(pm)}}\).

Kết luận: Chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất là 7,5 \({\rm{pm}}\).

Đáp số: 7,5.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, khoảng có đạo hàm mang dấu âm hoặc bằng không tại hữu hạn điểm liên tục là khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Để khoảng số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) nằm trong vùng nghịch biến này đạt hiệu độ dài lớn nhất thì ta chọn các đầu mút biên của khoảng lớn nhất là \(a = - 1\) và \(b = 1\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức hiệu số là: \(b - a = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\).

Đáp số: 2.