Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2a\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\).
a. \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
b. \(\overrightarrow {SA} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).
c. \(6\overrightarrow {IG} = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
d. Lấy điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} + k\overrightarrow {AC} = \vec 0\). Khi đó \(\overrightarrow {MG} \bot \overrightarrow {BD} ,\forall k \ne 0\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. Vì đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của đường chéo \(AC\). Xét tam giác \(SAC\), đường thẳng \(SO\) là đường trung tuyến. Theo tính chất hình học vectơ cơ bản, ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
b) Đúng. Ta biến đổi hiệu hai vectơ: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
Do đường thẳng \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, cụ thể là \(SA \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\).
c) Đúng. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\) nên với một điểm \(I\) bất kỳ ta có mối liên hệ: \(\overrightarrow {IS} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {IG} \Rightarrow 6\overrightarrow {IG} = 2\overrightarrow {IS} + 2\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {ID} \).
Vì \(I\) là trung điểm \(SA\) nên \(2\overrightarrow {IS} = \overrightarrow {AS} \).
Chèn điểm gốc \(A\) vào hai vectơ còn lại:
\(2\overrightarrow {IB} = 2\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} \) (vì \(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AS} \)).
\(2\overrightarrow {ID} = 2\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AI} } \right) = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
Cộng tổng lại ta được: \(6\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AS} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
d) Đúng. Từ \(\overrightarrow {AM} + k\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = - k\overrightarrow {AC} \), suy ra điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(AC\).
Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) xuống đáy là \(A\), hình chiếu của trọng tâm \(G\) xuống đáy nằm trên đoạn thẳng \(AC\). Do đó, đường thẳng hình chiếu của \(MG\) xuống đáy trùng với đường thẳng \(AC\).
Mặt khác, trong hình vuông \(ABCD\) hai đường chéo vuông góc với nhau: \(AC \bot BD\). Theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra đường thẳng không gian \(MG \bot BD\) với mọi vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, khoảng có đạo hàm mang dấu âm hoặc bằng không tại hữu hạn điểm liên tục là khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Để khoảng số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) nằm trong vùng nghịch biến này đạt hiệu độ dài lớn nhất thì ta chọn các đầu mút biên của khoảng lớn nhất là \(a = - 1\) và \(b = 1\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức hiệu số là: \(b - a = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp số: 2.
Lời giải
Gọi \(a,b > 0\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vi mạch hình chữ nhật (đơn vị: \({\rm{pm}}\)).
Chu vi của vi mạch: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).
Diện tích một mặt của vi mạch: \(S = ab\).
Từ đề bài, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc vi mạch bao gồm:
Chi phí cố định ban đầu: \(50\) (triệu đồng).
Chi phí lắp màng Silic xung quanh thành (theo chu vi): \(15 \times 2\left( {a + b} \right) = 30\left( {a + b} \right)\) (triệu đồng).
Chi phí phủ chất làm mát cả 2 bề mặt: \(32 \times 2ab = 64ab\) (triệu đồng).
Đề bài cho biết chi phí phủ chất làm mát luôn gấp đôi chi phí lắp màng Silic:
\(64ab = 2 \cdot 30\left( {a + b} \right) \Rightarrow 64ab = 60\left( {a + b} \right)16 \Rightarrow ab = 15\left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\).
Đơn giá bán của mỗi chiếc vi mạch là \(428\) triệu đồng/\({\rm{p}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra doanh thu từ một chiếc vi mạch là: \({\rm{Doanh\;thu}} = 428ab\).
Lợi nhuận (\(P\)) thu được từ mỗi chiếc vi mạch bằng Doanh thu trừ đi tổng Chi phí:
\(P = 428ab - \left[ {50 + 30\left( {a + b} \right) + 64ab} \right]\).
Từ phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có \(30\left( {a + b} \right) = 32ab\). Thay vào biểu thức lợi nhuận:
\(P = 428ab - \left( {50 + 32ab + 64ab} \right) = 332ab - 50\).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(ab\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương \(a\) và \(b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \(16ab = 15\left( {a + b} \right) \ge 15 \cdot 2\sqrt {ab} = 30\sqrt {ab} \).
Vì \(a,b > 0 \Rightarrow \sqrt {ab} > 0\), chia cả hai vế cho \(\sqrt {ab} \) ta được:
\(16\sqrt {ab} \ge 30 \Rightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8}\)\( \Rightarrow ab \ge {\left( {\frac{{15}}{8}} \right)^2} = \frac{{225}}{{64}}\).
Do hàm lợi nhuận \(P = 332ab - 50\) đồng biến theo \(ab\), nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(ab\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại dấu "=" của bất đẳng thức: \(a = b\).
Khi \(a = b\), thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\):
\(16{a^2} = 15\left( {2a} \right) \Rightarrow 16{a^2} = 30a \Rightarrow a = \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8} = 1,875{\rm{\;(pm)}}\).
Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, vi mạch là hình vuông có cạnh \(a = 1,875{\rm{\;pm}}\). Chu vi của vi mạch cần sản xuất là: \(C = 4a = 4 \times 1,875 = 7,5{\rm{\;(pm)}}\).
Kết luận: Chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất là 7,5 \({\rm{pm}}\).
Đáp số: 7,5.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập