Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
b. Điểm cực tiểu của hàm số là \(x = - 1\).
c. Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho có hai điểm cực trị là \({x_1},{x_2}\). Khi đó giá trị \({x_1} \cdot {x_2} = - 1\).
d. Gọi \(A,B\) lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + 1\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(2\sqrt 5 \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. Tìm đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).
Lập bảng xét dấu của đạo hàm cho thấy: Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), đạo hàm \(f'\left( x \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến.
b) Sai. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 1\), do đó \(x = 1\) mới là điểm cực tiểu của hàm số. Tại điểm \(x = - 1\) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên là điểm cực đại.
c) Đúng. Hai điểm cực trị của hàm số là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 1\). Tích của chúng là \({x_1} \cdot {x_2} = \left( { - 1} \right) \cdot 1 = - 1\).
d) Đúng. Xét đồ thị hàm số mới \(y = f\left( x \right) + 1 = {x^3} - 3x + 2\).
Với điểm cực đại \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = 4 \Rightarrow A\left( { - 1;4} \right)\).
Với điểm cực tiểu \(x = 1 \Rightarrow y = {1^3} - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \Rightarrow B\left( {1;0} \right)\).
Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị \(AB\) là:
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(a,b > 0\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vi mạch hình chữ nhật (đơn vị: \({\rm{pm}}\)).
Chu vi của vi mạch: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).
Diện tích một mặt của vi mạch: \(S = ab\).
Từ đề bài, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc vi mạch bao gồm:
Chi phí cố định ban đầu: \(50\) (triệu đồng).
Chi phí lắp màng Silic xung quanh thành (theo chu vi): \(15 \times 2\left( {a + b} \right) = 30\left( {a + b} \right)\) (triệu đồng).
Chi phí phủ chất làm mát cả 2 bề mặt: \(32 \times 2ab = 64ab\) (triệu đồng).
Đề bài cho biết chi phí phủ chất làm mát luôn gấp đôi chi phí lắp màng Silic:
\(64ab = 2 \cdot 30\left( {a + b} \right) \Rightarrow 64ab = 60\left( {a + b} \right)16 \Rightarrow ab = 15\left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\).
Đơn giá bán của mỗi chiếc vi mạch là \(428\) triệu đồng/\({\rm{p}}{{\rm{m}}^2}\), suy ra doanh thu từ một chiếc vi mạch là: \({\rm{Doanh\;thu}} = 428ab\).
Lợi nhuận (\(P\)) thu được từ mỗi chiếc vi mạch bằng Doanh thu trừ đi tổng Chi phí:
\(P = 428ab - \left[ {50 + 30\left( {a + b} \right) + 64ab} \right]\).
Từ phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có \(30\left( {a + b} \right) = 32ab\). Thay vào biểu thức lợi nhuận:
\(P = 428ab - \left( {50 + 32ab + 64ab} \right) = 332ab - 50\).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(ab\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) cho hai số dương \(a\) và \(b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\): \(16ab = 15\left( {a + b} \right) \ge 15 \cdot 2\sqrt {ab} = 30\sqrt {ab} \).
Vì \(a,b > 0 \Rightarrow \sqrt {ab} > 0\), chia cả hai vế cho \(\sqrt {ab} \) ta được:
\(16\sqrt {ab} \ge 30 \Rightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8}\)\( \Rightarrow ab \ge {\left( {\frac{{15}}{8}} \right)^2} = \frac{{225}}{{64}}\).
Do hàm lợi nhuận \(P = 332ab - 50\) đồng biến theo \(ab\), nên \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(ab\) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại dấu "=" của bất đẳng thức: \(a = b\).
Khi \(a = b\), thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\):
\(16{a^2} = 15\left( {2a} \right) \Rightarrow 16{a^2} = 30a \Rightarrow a = \frac{{30}}{{16}} = \frac{{15}}{8} = 1,875{\rm{\;(pm)}}\).
Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất, vi mạch là hình vuông có cạnh \(a = 1,875{\rm{\;pm}}\). Chu vi của vi mạch cần sản xuất là: \(C = 4a = 4 \times 1,875 = 7,5{\rm{\;(pm)}}\).
Kết luận: Chu vi của mỗi chiếc vi mạch cần sản xuất khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất là 7,5 \({\rm{pm}}\).
Đáp số: 7,5.
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, khoảng có đạo hàm mang dấu âm hoặc bằng không tại hữu hạn điểm liên tục là khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Để khoảng số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) nằm trong vùng nghịch biến này đạt hiệu độ dài lớn nhất thì ta chọn các đầu mút biên của khoảng lớn nhất là \(a = - 1\) và \(b = 1\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức hiệu số là: \(b - a = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp số: 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập