Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung . Tiếp tuyến với cung tại \(M\) cắt \(CD\) tại \(P\) và \(BC\) tại \(Q\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DP\) để \(PQ\) có độ dài nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kết quả: _____ .

Bể chứa dầu gồm hai nửa hình cầu bán kính \(r\) (ghép lại thành một hình cầu bán kính \(r\)) và một hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\).

Thể tích của toàn bộ bể chứa: \(V = {V_{{\rm{cau}}}} + {V_{{\rm{tru}}}} = \frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h\).

Theo đề bài, thể tích bể bằng \(9\pi {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\): \(\frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h = 9\pi \Leftrightarrow \frac{4}{3}{r^3} + {r^2}h = 9\).

Từ đây, ta biểu diễn chiều cao \(h\) theo bán kính \(r\): \({r^2}h = 9 - \frac{4}{3}{r^3} \Leftrightarrow h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\).

Theo yêu cầu vận chuyển, chiều cao phải thỏa mãn \(h \ge 2\) nên \(\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r \ge 2\).

Vì \(r > 0\), nhân cả hai vế với \(3{r^2}\) ta được \(27 - 4{r^3} \ge 6{r^2} \Leftrightarrow 4{r^3} + 6{r^2} - 27 \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2r - 3} \right)\left( {2{r^2} + 6r + 9} \right) \le 0\).

Vì \(2{r^2} + 6r + 9 > 0\) với mọi \(r\), bất phương trình tương đương với: \(2r - 3 \le 0 \Leftrightarrow r \le 1,5\).

Vậy tập xác định của bán kính là \(r \in \left( {0;1,5} \right]\).

Chi phí làm bể tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt ngoài của bể: \(S = {S_{{\rm{cau}}}} + {S_{{\rm{xq\;tru}}}} = 4\pi {r^2} + 2\pi rh\).

Thay \(h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\) vào công thức diện tích:

\(S\left( r \right) = 4\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r} \right)\)\( = 4\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r} - \frac{8}{3}\pi {r^2} = \frac{4}{3}\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\), ta tính đạo hàm: \(S'\left( r \right) = \frac{8}{3}\pi r - \frac{{18\pi }}{{{r^2}}}\).

Tìm nghiệm của đạo hàm \(S'\left( r \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{8}{3}\pi r = \frac{{18\pi }}{{{r^2}}} \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{54}}{8} = 6,75 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{6,75}} \approx 1,89\).

Vì điểm cực trị \(r \approx 1,89\) nằm ngoài khoảng xét \(\left( {0;1,5} \right]\) và với mọi \(r \in \left( {0;1,5} \right]\) thì \(S'\left( r \right) < 0\). Do đó, hàm số \(S\left( r \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\).

Vì hàm số luôn giảm trên \(\left( {0;1,5} \right]\), giá trị nhỏ nhất của \(S\left( r \right)\) sẽ đạt được tại điểm \(r = 1,5\).

Bán kính \(r\) để chi phí làm bể là nhỏ nhất là 1,5 (m).

Kết quả: 1,5.

a) ĐÚNG. Doanh thu \(F\left( x \right) = x \cdot \left( {1400 - 7,5x} \right) = 1400x - 7,5{x^2}\) (USD).

b) ĐÚNG. Tổng chi phí \(C\left( x \right) = x \cdot \overline C \left( x \right) = x\left( {{x^2} - 6x + 140 + \frac{{750}}{x}} \right) = {x^3} - 6{x^2} + 140x + 750\) (USD).

c) ĐÚNG. Lợi nhuận

\(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {1400x - 7,5{x^2}} \right) - \left( {{x^3} - 6{x^2} + 140x + 750} \right) = - {x^3} - 1,5{x^2} + 1260x - 750\) (USD).

d) ĐÚNG. Tìm GTLN của \(P\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;186} \right]\):

\(P{\rm{'}}\left( x \right) = - 3{x^2} - 3x + 1260 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 420 = 0 \Leftrightarrow x = 20\) hoặc \(x = - 21\).

Lập bảng biến thiên ta thấy \(P\left( x \right)\) đạt cực đại lớn nhất tại \(x = 20\).

\(P\left( {20} \right) = - {20^3} - 1,5 \cdot {20^2} + 1260 \cdot 20 - 750 = - 8000 - 600 + 25200 - 750 = 15850{\rm{\;(USD)}}{\rm{.}}\)