Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung . Tiếp tuyến với cung tại \(M\) cắt \(CD\) tại \(P\) và \(BC\) tại \(Q\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DP\) để \(PQ\) có độ dài nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Kết quả: _____ .
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(DP = x\) và \(BQ = y\) (với \(0 \le x,y \le 1\)).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: \(PM = PD = x \Rightarrow PC = 1 - x\); \(QM = QB = y \Rightarrow QC = 1 - y\).
Độ dài đoạn \(PQ = PM + MQ = x + y\).
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(PCQ\):
\(P{Q^2} = P{C^2} + Q{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\)
\({x^2} + 2xy + {y^2} = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2} \Leftrightarrow 2xy = 2 - 2x - 2y \Leftrightarrow xy + x + y = 1\)\( \Rightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x \Rightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\).
Khi đó độ dài cạnh \(PQ\) là: \(f\left( x \right) = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\):
\(f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\mathop \to \limits^{x \in \left[ {0;1} \right]} x = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,41\).
Kết quả: 0,41.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(2\).
B. \(1\).
C. \(3\).
D. \(4\).
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\):
Đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm \(x = 0\) và \(x = 1\). Do đó hàm số có \(2\) điểm cực trị.
Chọn A.
Câu 2
A. \(2\).
B. \(4\).
C. \(3\).
D. \(1\).
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to {0^ + }}} y = - \infty \), suy ra \(x = 0\) là một đường tiệm cận đứng.
Khi \(x \to - \infty \), \(y \to 3\), suy ra \(y = 3\) là một đường tiệm cận ngang.
Khi \(x \to + \infty \), \(y \to 2\), suy ra \(y = 2\) là một đường tiệm cận ngang.
Tổng số đường tiệm cận là \(1 + 2 = 3\).
Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a. Công ty bán được 775 sản phẩm trong 6 tháng.
b. Đạo hàm \(S'\left( x \right) = \frac{{1800}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
c. Nếu công ty duy trì thời gian bán hàng đủ lâu thì số lượng sản phẩm bán được sẽ vượt mức 1000.
d. Doanh số của công ty tăng trưởng chậm dần theo thời gian.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\).
c. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng 5.
d. \(a + b + c + d = 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(f\left( 1 \right)\).
B. \(f\left( { - 1} \right)\).
C. \(f\left( { - 2} \right)\).
D. \(f\left( 0 \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập