Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 2\) có hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) cùng với gốc tọa độ \(O\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

Kết quả: __

Bể chứa dầu gồm hai nửa hình cầu bán kính \(r\) (ghép lại thành một hình cầu bán kính \(r\)) và một hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\).

Thể tích của toàn bộ bể chứa: \(V = {V_{{\rm{cau}}}} + {V_{{\rm{tru}}}} = \frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h\).

Theo đề bài, thể tích bể bằng \(9\pi {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\): \(\frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h = 9\pi \Leftrightarrow \frac{4}{3}{r^3} + {r^2}h = 9\).

Từ đây, ta biểu diễn chiều cao \(h\) theo bán kính \(r\): \({r^2}h = 9 - \frac{4}{3}{r^3} \Leftrightarrow h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\).

Theo yêu cầu vận chuyển, chiều cao phải thỏa mãn \(h \ge 2\) nên \(\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r \ge 2\).

Vì \(r > 0\), nhân cả hai vế với \(3{r^2}\) ta được \(27 - 4{r^3} \ge 6{r^2} \Leftrightarrow 4{r^3} + 6{r^2} - 27 \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2r - 3} \right)\left( {2{r^2} + 6r + 9} \right) \le 0\).

Vì \(2{r^2} + 6r + 9 > 0\) với mọi \(r\), bất phương trình tương đương với: \(2r - 3 \le 0 \Leftrightarrow r \le 1,5\).

Vậy tập xác định của bán kính là \(r \in \left( {0;1,5} \right]\).

Chi phí làm bể tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt ngoài của bể: \(S = {S_{{\rm{cau}}}} + {S_{{\rm{xq\;tru}}}} = 4\pi {r^2} + 2\pi rh\).

Thay \(h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\) vào công thức diện tích:

\(S\left( r \right) = 4\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r} \right)\)\( = 4\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r} - \frac{8}{3}\pi {r^2} = \frac{4}{3}\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\), ta tính đạo hàm: \(S'\left( r \right) = \frac{8}{3}\pi r - \frac{{18\pi }}{{{r^2}}}\).

Tìm nghiệm của đạo hàm \(S'\left( r \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{8}{3}\pi r = \frac{{18\pi }}{{{r^2}}} \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{54}}{8} = 6,75 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{6,75}} \approx 1,89\).

Vì điểm cực trị \(r \approx 1,89\) nằm ngoài khoảng xét \(\left( {0;1,5} \right]\) và với mọi \(r \in \left( {0;1,5} \right]\) thì \(S'\left( r \right) < 0\). Do đó, hàm số \(S\left( r \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\).

Vì hàm số luôn giảm trên \(\left( {0;1,5} \right]\), giá trị nhỏ nhất của \(S\left( r \right)\) sẽ đạt được tại điểm \(r = 1,5\).

Bán kính \(r\) để chi phí làm bể là nhỏ nhất là 1,5 (m).

Kết quả: 1,5.

Đặt \(DP = x\) và \(BQ = y\) (với \(0 \le x,y \le 1\)).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: \(PM = PD = x \Rightarrow PC = 1 - x\); \(QM = QB = y \Rightarrow QC = 1 - y\).

Độ dài đoạn \(PQ = PM + MQ = x + y\).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(PCQ\):

\(P{Q^2} = P{C^2} + Q{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2} \Leftrightarrow 2xy = 2 - 2x - 2y \Leftrightarrow xy + x + y = 1\)\( \Rightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x \Rightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\).

Khi đó độ dài cạnh \(PQ\) là: \(f\left( x \right) = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\):

\(f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\mathop \to \limits^{x \in \left[ {0;1} \right]} x = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,41\).

Kết quả: 0,41.