Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b\,}}{{cx + d}}\) với \(a > 0\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Trong các số \(b\,,\,c,\,d\) có bao nhiêu số dương?

Đáp số: __

a) ĐÚNG. Tại \(x = 2\), cả dòng \(y'\) và \(y\) đều có ký hiệu hai sọc thể hiện hàm số không xác định tại đây.

b) SAI. Hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực tiểu \(x = 1\) (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương). c) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 tại \(x = 1\).

d) SAI. Đồ thị có 1 tiệm cận đứng là \(x = 2\) (vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty \)) và 2 tiệm cận ngang là \(y = 3\) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3\)) và \(y = 4\) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 4\)). Tổng số đường tiệm cận là \(3\).

a) SAI. Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( { - {x^2} + 2x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Đạo hàm mang dấu dương trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). Ở khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến.

b) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}} = 0\].

Phương trình \( - {x^2} + 2x - 4 = 0\) vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục \(Ox\).

c) SAI. Tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = 2\). Thực hiện phép chia đa thức: \(y = - x + \frac{{ - 4}}{{x - 2}}\), suy ra tiệm cận xiên là \(y = - x\). Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: \(x = 2 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)\).

d) ĐÚNG. Từ câu a), hai hoành độ cực trị là \(x = 0\) và \(x = 4\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = - 6 \Rightarrow B\left( {4; - 6} \right)\).

Khoảng cách \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 64} = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \).