Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).
b. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.
c. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( {2;1} \right)\).
d. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng \(4\sqrt 5 \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) SAI. Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( { - {x^2} + 2x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Đạo hàm mang dấu dương trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). Ở khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến.
b) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}} = 0\].
Phương trình \( - {x^2} + 2x - 4 = 0\) vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục \(Ox\).
c) SAI. Tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = 2\). Thực hiện phép chia đa thức: \(y = - x + \frac{{ - 4}}{{x - 2}}\), suy ra tiệm cận xiên là \(y = - x\). Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: \(x = 2 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)\).
d) ĐÚNG. Từ câu a), hai hoành độ cực trị là \(x = 0\) và \(x = 4\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).
Với \(x = 4 \Rightarrow y = - 6 \Rightarrow B\left( {4; - 6} \right)\).
Khoảng cách \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 64} = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
b. Hàm số có hai cực trị.
c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
d. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.
Lời giải
a) ĐÚNG. Tại \(x = 2\), cả dòng \(y'\) và \(y\) đều có ký hiệu hai sọc thể hiện hàm số không xác định tại đây.
b) SAI. Hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực tiểu \(x = 1\) (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương). c) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 tại \(x = 1\).
d) SAI. Đồ thị có 1 tiệm cận đứng là \(x = 2\) (vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty \)) và 2 tiệm cận ngang là \(y = 3\) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3\)) và \(y = 4\) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 4\)). Tổng số đường tiệm cận là \(3\).
Lời giải
Khi cắt bỏ 4 góc mỗi góc một hình vuông cạnh \(x\), đáy của hộp tạo thành sẽ là một hình vuông có cạnh dài: \(10 - 2x\) (cm). Điều kiện: \(x > 0\) và \(10 - 2x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 5\).
Chiều cao của khối hộp không nắp dựng lên chính bằng \(x\) (cm).
Công thức tính thể tích khối hộp thu được: \(V\left( x \right) = x \cdot {\left( {10 - 2x} \right)^2} = x \cdot \left( {100 - 40x + 4{x^2}} \right) = 4{x^3} - 40{x^2} + 100x\).
Lấy đạo hàm để tìm giá trị cực đại: \(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 80x + 100\).
Cho \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4\left( {3{x^2} - 20x + 25} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5\) (loại vì không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = \frac{5}{3} \approx 1,667\) (thỏa mãn).
Lập bảng biến thiên trên khoảng \(\left( {0;5} \right)\), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = \frac{5}{3}\).
Làm tròn kết quả đến hàng phần chục theo yêu cầu đề bài: \(x \approx 1,7\) cm.
Đáp số: 1,7.
Câu 3
a. Hàm số có đạo hàm \(y' = 3{x^2} + 6x\).
b. Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm \(x = 0\) thuộc \(\left[ { - 1;1} \right]\).
c. \(y\left( 0 \right) = 1;\) \(y\left( 1 \right) = - 1\).
d. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = - 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(x = - 2\).
B. \(x = 3\).
C. \(x = 0\).
D. \(x = 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập