Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 Trường thực nghiệm KHGD (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), ta xác định được điểm cao nhất của đồ thị có tung độ bằng \(3\) tại \(x = 3\), do đó giá trị lớn nhất \(M = 3\).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ bằng \( - 2\) tại \(x = 2\), do đó giá trị nhỏ nhất \(m = - 2\).

Tính giá trị biểu thức: \(M + 2m = 3 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 3 - 4 = - 1\).

Chọn A.

Nhìn vào dạng đường cong, đây là đồ thị của hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với nét cuối cùng đi lên từ trái sang phải, suy ra hệ số \(a > 0\). Do đó loại phương án B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\), nên khi \(x = 0\) thì \(y = 2\). Do đó loại phương án D.

Từ đồ thị, ta thấy hàm số có điểm cực đại \(x = 0\) và điểm cực tiểu \(x = 2\).

Xét phương án C: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Tại \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) (Cực đại); tại \(x = 2 \Rightarrow y = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = - 2\) (Cực tiểu). Điều này hoàn toàn trùng khớp với đồ thị hình vẽ.

Chọn C.

Đạo hàm: \(y' = 1 \cdot {e^x} + x \cdot {e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) (do \({e^x} > 0,\forall x\)). Giá trị \(x = - 1 \notin \left[ {1;2} \right]\).

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ {1;2} \right]\):

Tại \(x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = 1 \cdot {e^1} = e\).

Tại \(x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 2 \cdot {e^2} = 2{e^2}\).

So sánh hai giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2{e^2}\).

Chọn A.

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = x - 5 + \frac{{11}}{{x + 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{11}}{{x + 2}} = 0\), đường thẳng \(y = x - 5\) chính là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Nghiệm của phương trình mẫu số là \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\).

Tại \(x = 4\), tử số bằng \(3 \cdot 4 + 1 = 13 \ne 0\).

Do đó, \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 4}} = + \infty \) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x - 4}} = - \infty \). Đường thẳng \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\):

Về giá trị lớn nhất (\({\rm{max}}\)): Tại \(x = 2\), giá trị của hàm số đạt cực đại và bằng \(4\). Nhìn vào nhánh đi lên và đi xuống, số \(4\) là đỉnh cao nhất của đồ thị trên toàn bộ tập xác định \(\mathbb{R}\).

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 4\) (đạt được tại \(x = 2\)).

Về giá trị nhỏ nhất (\({\rm{min}}\)): Khi \(x \to - \infty \), giá trị \(y\) tiến về sát \(1\) (nhưng không bao giờ bằng \(1\)). Tương tự, khi \(x \to + \infty \), giá trị \(y\) cũng giảm dần và tiến về sát \(1\).

Vì \(1\) chỉ là giới hạn ở vô cực (\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = 1\)) chứ không tồn tại bất kỳ giá trị \({x_0}\) cụ thể nào để \(f\left( {{x_0}} \right) = 1\), nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\).

Chọn B.

Đây là đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Nhìn vào hình vẽ, đường tiệm cận đứng là \(x = 1\), do đó mẫu số phải có nghiệm bằng \(1 \Rightarrow \) loại phương án A và D.

Đường tiệm cận ngang là \(y = 2\), hệ số tỉ lệ của tử và mẫu bằng \(2\). Cả B và C đều thỏa mãn.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (\(y = - 1\)). Thử điểm với phương án B và C:

Với B: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 1\) (Thỏa mãn).

Với C: \(y = \frac{{2x - 5}}{{x - 1}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 5\) (Loại).

Chọn B.

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nhìn vào đồ thị, đồ thị đi lên trên hai nhánh khoảng hoành độ là \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Trong các phương án đưa ra, khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) hoàn toàn thuộc vào miền đi lên của đồ thị hàm số.

Chọn C.