Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)\). Ta xét sự đổi dấu của \(f'\left( x \right)\) khi qua các nghiệm:

\(x = - 1\) là nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này.

\(x = 1\) và \(x = 4\) là các nghiệm bội lẻ.

Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\): Trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\), đạo hàm mang dấu âm (\( - \)). Trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), đạo hàm mang dấu dương (\( + \)).

Vì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = 4\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\).

Chọn C.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 2}}{{x + 1}} = - x + 4 - \frac{6}{{x + 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\), nên đường thẳng \(y = - x + 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Xét hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 5\) trên \(\left[ { - 2;3} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right)\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( { \in {\rm{\;}}\left[ { - 2;3} \right]} \right)\)

Tính giá trị tại các điểm biên và các điểm cực trị:

\(y\left( { - 2} \right) = 5\); \(y\left( 3 \right) = 50\); \(y\left( 0 \right) = 5\); \(y\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = 1\).

So sánh các giá trị, ta được giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 2;3} \right]\) là \(M = 50\).

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ là \(M = 3\) (tại \(x = 3\)).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ là \(m = - 2\) (tại \(x = 2\)).

Tính giá trị biểu thức: \(M - 2m = 3 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 7\).

Chọn D.

Xét hàm lợi nhuận \(y = - {x^3} + 150{x^2}\) với \(0 \le x \le 200\).

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 300x = - 3x\left( {x - 100} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 100\).

Lập bảng biến thiên trên \(\left[ {0;200} \right]\), ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;100} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {100;200} \right)\). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 100\). Doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, tại điểm \(x = - 7\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương, đồ thị đi xuống rồi đi lên. Do đó giá trị cực tiểu của hàm số thu được tại đây bằng \( - 12\).

Chọn B.

Hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{5x - 1}}\) có nghiệm của mẫu số là \(5x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^ + }} y = - \infty \) nên đường thẳng \(x = \frac{1}{5}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số ta được: \(y = {0^3} + 6 \cdot 0 - 7 = - 7\). Tung độ giao điểm bằng \( - 7\).

Chọn C.