Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Thăng Long (Hà Nội) có đáp án

Ta có \(\vec u\left( {1;a;2} \right)\) và \(\vec v\left( { - 3;9;b} \right)\) cùng phương nên \(\frac{{ - 3}}{1} = \frac{9}{a} = \frac{b}{2} = - 3\).

Từ \(\frac{9}{a} = - 3 \Rightarrow a = - 3\).

Từ \(\frac{b}{2} = - 3 \Rightarrow b = - 6\).

Tính \({a^2} + b = {\left( { - 3} \right)^2} + \left( { - 6} \right) = 9 - 6 = 3\).

Chọn C.

Tập xác định: \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {0;2} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)\).

Qua điểm \(x = 1\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\). Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Chọn B.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\).

Tính tích vô hướng và độ dài:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 5} \right) \cdot 3 + \left( { - 4} \right) \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 = - 15 - 4 - 2 = - 21\)

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {42} \)

\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \)

Suy ra: \(\cos A = \frac{{ - 21}}{{\sqrt {42} \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{ - 21}}{{14\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat A = 150^\circ \).

Chọn C.

Với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{1}{x}} = 2\).

Suy ra: \(f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x} \ge 2 - 5 = - 3\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (vì \(x > 0\)).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = - 3\).

Chọn B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

Tiệm cận ngang: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} = 0 \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang.

Tiệm cận đứng: Mẫu số bằng \(0\) tại \(x = 2\) và \(x = - 2\). Do tử số tại hai điểm này đều khác không nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty \). Suy ra đồ thị có 2 tiệm cận đứng là \(x = 2\) và \(x = - 2\).

Tổng số đường tiệm cận là \(1 + 2 = 3\).

Chọn D.

Ta có \(M\) là trung điểm của \(BB'\), do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AM} \): \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \).

Mặt khác, trong hình lăng trụ ta có \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} = \vec c\). Theo giả thiết \(\overrightarrow {CA} = \vec a\) và \(\overrightarrow {CB} = \vec b\).

Thay vào ta được: \(\overrightarrow {AM} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).

Chọn D.

Xét hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) ở đáp án A, nghiệm của mẫu thức là \(x = - 1\). Khi \(x \to - {1^ + }\), tử thức tiến tới \( - 4 \ne 0\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty \). Vậy đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

Chọn A.

Cho điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\). Tọa độ điểm đối xứng qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(M'\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Chọn A.