Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Minh Hà (Hà Nội) có đáp án

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi: \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x + 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le - 2\).

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn này có tung độ bằng \(2\) tại vị trí \(x = - 1\) (hoặc nhìn vào đường nét đứt ở góc trái, điểm biên tại \(x = - 1\) đạt \(y = 2\), và tại \(x = 3\) đạt \(y = 1\)). Vậy giá trị lớn nhất \(M = 2\).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ bằng \( - 4\) tại vị trí \(x = 2\). Vậy giá trị nhỏ nhất \(m = - 4\).

Do đó: \(M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).

Chọn D.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung \(Oy\) là điểm có hoành độ \(x = 0\).

Thay \(x = 0\) vào công thức hàm số ta được: \(y = \frac{{ - {0^2} + 1}}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn B.

Ta biến đổi phương trình về dạng: \(2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).

Số nghiệm thực của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = \frac{1}{2}\).

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số, ta thấy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) nằm giữa \( - 1\) và \(3\) (tức là \( - 1 < \frac{1}{2} < 3\)). Đường thẳng này cắt đồ thị tại \(3\) điểm phân biệt.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.

Xét hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1{\rm{\;(do\;}}x \in \left( {0; + \infty } \right){\rm{)}}\).

Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(y' > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến.

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(y' < 0 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) và \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot 1 + 1 = 3\).

Chọn D.

Tập xác định của hàm số yêu cầu mẫu số khác 0: \({x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0{\rm{\;và \;}}x \ne - 1\).

Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử: \(y = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 3}}{x}\).

Tại \(x = 0\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 3}}{x} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x - 3}}{x} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng.

Tại \(x = - 1\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x - 3}}{x} = \frac{{ - 1 - 3}}{{ - 1}} = 4\).

Vì giới hạn là một số thực cụ thể nên đường thẳng \(x = - 1\) không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Chọn A.

Tập xác định: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta tính đạo hàm: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\).

Qua nghiệm \(x = - 3\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm \( \Rightarrow x = - 3\) là điểm cực đại.

Qua nghiệm \(x = 1\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow x = 1\) là điểm cực tiểu.

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 1\).

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số:

Đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến) trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Đồ thị đi lên (hàm số đồng biến) trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).

Đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do đó, khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) chứa khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Vì hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\) nên nó cũng đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn D.