Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0\) là:

Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) có dạng \(y = ax + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a - 2b\).

Đáp số: ___

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x - m\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?

Đáp số: __

Để giám sát việc thăm quan trong một căn phòng triển lãm, người ta lắp đặt 02 camera, một ở vị trí chính giữa trần nhà của căn phòng và một ở chính giữa một góc tường của căn phòng.

Giả sử phòng triển lãm có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước \(4m \times 7m \times 4m\) và ta đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) vào căn phòng như hình vẽ. Biết rằng \(M\) và \(N\) là các vị trí đặt camera, trong đó \(M\) ở chính giữa mặt phẳng trần nhà, \(N \in Oz\) là điểm chính giữa của góc tường \(\left( {ON = 2} \right)\). Gọi \(\left( {a;b;c} \right)\) là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \), tính \(a + 2b + c\).

Đáp số: ____

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Gọi \({x_1}\) là điểm cực đại của hàm số, \({x_2}\) là điểm cực tiểu của hàm số. Tính \({x_1} + 4{x_2}\).

Đáp số: __

Sau khi làm sạch, người ta bơm nước vào một bể bơi. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng nước trong bể bơi sau \(t\) (phút) bơm được cho bởi công thức

\(V\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {32{t^3} - {t^4}} \right)\) với \(0 \le t \le 20\).

Khi nước được bơm vào bể bơi, tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\) được xác định bởi công thức \(V'\left( t \right)\) với \(0 \le t \le 20\). Hỏi tốc độ bơm nước tăng trong bao nhiêu phút kể từ khi bắt đầu bơm nước vào bể bơi?

Đáp số: ___

Một công ty sản xuất và bán ra 100 sản phẩm mỗi ngày với chi phí sản xuất là 1 triệu đồng/sản phẩm. Công ty phân phối số sản phẩm này đến hai cửa hàng bán lẻ. Do sự khác biệt về vị trí, nhu cầu, mặt bằng, ... nên mỗi cửa hàng có chi phí vận hành và doanh thu khác nhau theo số lượng sản phẩm bán ra.

Tại cửa hàng thứ nhất, chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là \(14\) nghìn đồng. Doanh thu từ việc bán \({x_1}\) sản phẩm tại cửa hàng này \(\left( {0 \le {x_1} \le 100,{x_1} \in \mathbb{N}} \right)\) được mô tả bởi hàm số

\({R_1}\left( {{x_1}} \right) = - 6x_1^2 + 2\,\,000{x_1}\) (nghìn đồng).

Tại cửa hàng thứ hai, chi phí vận hành cho mỗi sản phẩm là \(30\) nghìn đồng. Doanh thu từ việc bán \({x_2}\) sản phẩm tại cửa hàng này \(\left( {0 \le {x_2} \le 100,{x_2} \in \mathbb{N}} \right)\) được mô tả bởi hàm số

\({R_2}\left( {{x_2}} \right) = - 6x_2^2 + 1\,\,800{x_2}\) (nghìn đồng).

(Chi phí vận hành bao gồm các khoản chi phí dùng cho quảng cáo, vận tải, ...).

Lợi nhuận của công ty là tổng lợi nhuận từ việc bán sản phẩm từ hai cửa hàng. Hỏi công ty nên phân phối bao nhiêu sản phẩm đến cửa hàng thứ nhất trong một ngày để thu được lợi nhuận lớn nhất ? (giả sử số sản phẩm ở cả hai cửa hàng đều được bán hết mỗi ngày).

Đáp số: ___

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có \(AB = 2a\), \({A_1}{D_1} = \sqrt 3 a\), \(A{A_1} = a\) với \(a > 0\) (tham khảo hình vẽ).