Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 5} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) \cdot {\left( {3 - x} \right)^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
a. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
b. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) là \(f\left( { - 2} \right)\).
d. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - {2^x}} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta xét dấu của \(f'\left( x \right)\):
Vì \({\left( {3 - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), dấu của \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào tích \(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\).
\(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 5;2} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 5,x = 2,x = 3\) (trong đó \(x = 3\) là nghiệm kép).
a) ĐÚNG: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta thấy \(\left( {0;2} \right) \subset \left( { - 5;2} \right)\) tại đó \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
b) SAI: Đạo hàm chỉ đổi dấu qua \(x = - 5\) (từ dương sang âm \( \Rightarrow \) cực đại) và qua \(x = 2\) (từ âm sang dương \( \Rightarrow \) cực tiểu). Qua \(x = 3\), \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu. Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
c) SAI: Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 5;2} \right)\). Do đó tại \(x = - 5\) hàm số đạt cực đại, giá trị nhỏ nhất trên đoạn này không thể khẳng định là \(f\left( { - 2} \right)\).
d) ĐÚNG: Tính đạo hàm \(g'\left( x \right) = {\left( {3 - {2^x}} \right)^\prime } \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right) = - {2^x}{\rm{ln}}2 \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right)\).
Để hàm số đồng biến thì \(g'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - {2^x}} \right) \le 0\) (vì \( - {2^x}{\rm{ln}}2 < 0\)).
Từ điều kiện \(f'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le t \le 2\), ta thay \(t = 3 - {2^x}\):
\( - 5 \le 3 - {2^x} \le 2 \Leftrightarrow - 8 \le - {2^x} \le - 1 \Leftrightarrow 1 \le {2^x} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) là đúng theo lý thuyết tập nghiệm \(\left[ {0;3} \right]\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số:
\({x^2} + 2x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 3x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) + 1 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) + 1\).
Do đó ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\), nên đường thẳng \(y = x + 3\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Suy ra \(a = 1\) và \(b = 3\).
Giá trị của biểu thức cần tính là: \(a - 2b = 1 - 2 \cdot 3 = - 5\).
Đáp số: −5.
Lời giải
Với \({x_1}\) là số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ nhất (\(0 \le {x_1} \le 100,{x_1} \in \mathbb{N}\)) thì số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ hai là \({x_2} = 100 - {x_1}\).
Đổi tất cả các đơn vị chi phí về cùng đơn vị nghìn đồng:
Chi phí sản xuất 1 sản phẩm: 1 triệu đồng = 1000 nghìn đồng.
Lợi nhuận tại cửa hàng 1: \({P_1}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 2000{x_1}} \right) - \left( {1000 + 14} \right){x_1} = - 6x_1^2 + 986{x_1}\).
Lợi nhuận tại cửa hàng 2: \({P_2}\left( {{x_2}} \right) = \left( { - 6x_2^2 + 1800{x_2}} \right) - \left( {1000 + 30} \right){x_2} = - 6x_2^2 + 770{x_2}\).
Thay \({x_2} = 100 - {x_1}\) vào \({P_2}\) ta được
\({P_2} = - 6{\left( {100 - {x_1}} \right)^2} + 770\left( {100 - {x_1}} \right)\)\( = - 6\left( {10000 - 200{x_1} + x_1^2} \right) + 77000 - 770{x_1}\)\( = - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000\).
Tổng lợi nhuận toàn công ty:
\(P\left( {{x_1}} \right) = {P_1}\left( {{x_1}} \right) + {P_2}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 986{x_1}} \right) + \left( { - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000} \right)\)\( = - 12x_1^2 + 1416{x_1} + 17000\).
Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:
\({x_1} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1416}}{{2 \cdot \left( { - 12} \right)}} = \frac{{1416}}{{24}} = 59\).
Vì \(59 \in \left[ {0;100} \right]\) và là số nguyên, nên công ty nên phân phối 59 sản phẩm đến cửa hàng thứ nhất.
Đáp số: 59.
Câu 3
a. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
b. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \(x = 3\).
c. \(f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) < 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\left( { - 3; - 1} \right)\).
B. \[\left( {2; + \infty } \right).\]
C. \[\left( { - \infty ;0} \right).\]
D. \(\left( {0;1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. 0.
B. 3.
C. 1.
D. \( - 1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập