Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Đông Anh (Hà Nội) có đáp án

Trong hình hộp \(ABCD.EFGH\), hai vectơ \(\overrightarrow {EH} \) và \(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng và cùng độ dài, do đó: \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \).

Thay vào biểu thức phép toán, ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \).

Chọn C.

Theo định nghĩa về góc giữa hai vectơ trong không gian, nếu hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng hướng thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ .\) (Nếu ngược hướng thì góc bằng \(180^\circ \)).

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương \(\left( + \right)\) sang âm \(\left( - \right)\) khi qua điểm \(x = 2\). Do đó, điểm cực đại của hàm số là \(x = 2\).

Lưu ý phân biệt: điểm cực đại của hàm số là \(x = 2\), còn giá trị cực đại của hàm số là \(y = 4\).

Chọn A.

Quan sát các giá trị của hàm số \(y\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]\):

Các giá trị tại biên và các điểm cực trị lần lượt là: \(0\), \(2\), \( - 2\), \(2\sqrt 5 \).

Vì \(2\sqrt 5 > 2\) nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là \(2\sqrt 5 \) (đạt được tại \(x = \sqrt 5 \)).

Giá trị nhỏ nhất là \( - 2\) (đạt được tại \(x = 1\)).

Do đó khẳng định đúng là \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]} y = 2\sqrt 5 \).

Chọn B.

Theo định nghĩa đường tiệm cận ngang:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1\) là một đường tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow y = - 1\) là một đường tiệm cận ngang thứ hai.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 2 đường tiệm cận ngang.

Chọn A.

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\). Do đó loại A và B.

Dựa vào hình vẽ, đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) và đường tiệm cận ngang là \(y = 1\).

Xét đáp án C: \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = 2\) \( \to \) Loại.

Xét đáp án D: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 1\). Giao điểm với trục tung là \(\left( {0; - 1} \right)\), phù hợp với hình vẽ.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên từ trái sang phải và nghịch biến khi đồ thị đi xuống từ trái sang phải:

Đồ thị đi xuống trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Trong các phương án lựa chọn, khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thỏa mãn điều kiện nghịch biến.

Chọn B.

Đồ thị gồm hai nhánh tách biệt bởi đường tiệm cận đứng \(x = 1\), đồ thị có đường tiệm cận xiên. Loại C (hàm bậc nhất/bậc nhất) và D (hàm bậc ba).

Xét tính chất giao với trục tung \(Oy\) (\(x = 0\)):

Với phương án A: \(y\left( 0 \right) = \frac{{ - {0^2} + 0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\).

Với phương án B: \(y\left( 0 \right) = \frac{{ - {0^2} + 2 \cdot 0 - 2}}{{0 - 1}} = 2\).

Xét vị trí điểm cực trị trên hình vẽ: Đồ thị có một điểm cực tiểu tại \(x = 0,y = 2\) và một điểm cực đại tại \(x = 2,y = - 2\).

Thử tính đạo hàm phương án B: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).

Ta có \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 2} \right)\left( 1 \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x - 2 + {x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{;\;}}x = 2\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) (Điểm cực tiểu vì đồ thị nhánh trái đạt điểm thấp nhất tại đây).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = \frac{{ - 4 + 4 - 2}}{{2 - 1}} = - 2\) (Điểm cực đại).

Hoàn toàn trùng khớp với đồ thị đã cho.

Chọn B.