Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'\left( {1;0;1} \right)\), \(B'\left( {2;1;2} \right)\), \(D'\left( {1; - 1;1} \right)\), \(C\left( {4;5; - 5} \right).\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = m\). Tính giá trị của \(m\).

Đáp số: ___

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) có phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = - 2x + b\). Tìm giá trị của \(b\).

Đáp số: __

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng \(t\) (phút) được cho bời công thức: \(V\left( t \right) = 300\left( {{t^2} - {t^3}} \right) + 4\) với \(0 \le t \le 0,5\). Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi \(V'\left( t \right)\) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) với \(0 \le t \le 0,5\). Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm \(t = \frac{1}{a}\) (phút) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất. Tìm giá trị của \(a\).

Đáp số: __.

Ông Khánh dự định dùng hết \(5{{\rm{m}}^2}\) kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng \(V\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khi đó giá trị của \(V\) bằng:

Đáp số: _____

Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình: \(s\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 14t + 1\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chất điểm nhỏ nhất khi \(t = a\) (giây). Khi đó giá trị của \(a\) bằng:

Đáp số: __

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 40.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3.000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 40.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1.000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 22.000 đồng. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm \(x\) đồng. Tính giá trị của \(x\).

Đáp số: _____

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\); \(f\left( 0 \right) = - 1\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.