Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\); \(f\left( 0 \right) = - 1\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 2,x = - 1,x = - 3\).

Trong đó:

\(x = - 1\) là nghiệm bội chẵn (mũ 2) nên khi đi qua nghiệm này, đạo hàm \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu \( \to \) điểm này không thể là cực trị.

\(x = - 2\) và \(x = - 3\) là các nghiệm bội lẻ (mũ 1) nên đạo hàm sẽ đổi dấu khi đi qua chúng.

Ta lập bảng xét dấu cho \(f'\left( x \right)\) để xác định cực tiểu:

Khi \(x > - 1\) hoặc \( - 2 < x < - 1\): chọn thử \(0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 6 > 0\). Vậy khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right)\) mang dấu dương \(\left( + \right)\).

Khi \( - 3 < x < - 2\): chọn thử \( - 2,5 \Rightarrow f'\left( { - 2,5} \right) = \left( { - 0,5} \right) \cdot {\left( { - 1,5} \right)^2} \cdot \left( {0,5} \right) < 0\). Trên khoảng này, \(f'\left( x \right)\) mang dấu âm \(\left( - \right)\).

Khi \(x < - 3\): chọn thử \( - 4 \Rightarrow f'\left( { - 4} \right) = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - 3} \right)^2} \cdot \left( { - 1} \right) > 0\). Trên khoảng này, \(f'\left( x \right)\) mang dấu dương \(\left( + \right)\).

Sơ đồ đổi dấu của đạo hàm khi qua các điểm từ trái sang phải:

Qua \(x = - 3\): đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\) \( \to \) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\).

Qua \(x = - 2\): đổi dấu từ \(\left( - \right)\) sang \(\left( + \right)\) \( \to \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\).

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\), suy ra \(m = - 2\).

Đáp số: \( - 2\).

Tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) chính là đạo hàm bậc nhất của thể tích theo thời gian:

\[f\left( t \right) = V'\left( t \right) = 300\left( {2t - 3{t^2}} \right) = 600t - 900{t^2}\].

Để tốc độ tăng thể tích là lớn nhất, ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai \(f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;0,5} \right]\).

Đạo hàm của tốc độ: \(f'\left( t \right) = 600 - 1800t\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 600 - 1800t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{600}}{{1800}} = \frac{1}{3}\).

Vì \(t = \frac{1}{3} \approx 0,33 \in \left[ {0;0,5} \right]\) và hệ số của \({t^2}\) trong biểu thức \(f\left( t \right)\) là âm (\( - 900 < 0\)), nên tại \(t = \frac{1}{3}\) hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Theo bài ra, thời điểm đó là \(t = \frac{1}{a} \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3.\)

Đáp số: \(3\).