Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có \(AB = 2a\), \({A_1}{D_1} = \sqrt 3 a\), \(A{A_1} = a\) với \(a > 0\) (tham khảo hình vẽ).

a) SAI: Ta có \(A{B_1}\) và \({C_1}D\) là hai đường chéo của hai mặt bên đối diện nhau (\(AB{B_1}{A_1}\) và \(CD{D_1}{C_1}\)). Do \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật nên hai mặt bên này song song và bằng nhau, suy ra tứ giác \(A{B_1}{C_1}D\) là hình bình hành. Thực tế \(\overrightarrow {A{B_1}} \) và \(\overrightarrow {D{C_1}} \) mới là cặp vectơ bằng nhau, còn \(\overrightarrow {{C_1}D} = - \overrightarrow {D{C_1}} = - \overrightarrow {A{B_1}} \), nên chúng đối nhau chứ không bằng nhau.

b) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{A_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} \).

Khi đó vế trái bằng \(\overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} \). Mà \(\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow {{D_1}D} \) nên: \(\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}D} = \overrightarrow {{B_1}D} \).

c) SAI: Áp dụng quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}D} \) (vì \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} \)).

Độ dài của tổng vectơ chính là độ dài đường chéo \({B_1}D\) của hình hộp chữ nhật:

\({B_1}D = \sqrt {{B_1}{B^2} + {B_1}A_1^2 + {B_1}C_1^2} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 3{a^2}} = \sqrt {8{a^2}} = 2\sqrt 2 a\).

d) ĐÚNG: Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {{B_1}D} = \overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = \left( {\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \overrightarrow {C{C_1}} \).

Vì \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật nên đường cao \(C{C_1}\) vuông góc với tất cả các cạnh thuộc mặt đáy như \(BA\) và \(AD\), do đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = 0\) và \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = 0\). Do đó, \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}B} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} \).

Mà \(\overrightarrow {{B_1}B} \) và \(\overrightarrow {C{C_1}} \) là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng (\(\overrightarrow {{B_1}B} \) hướng xuống, \(\overrightarrow {C{C_1}} \) hướng lên), suy ra \(\overrightarrow {{B_1}B} = - \overrightarrow {C{C_1}} \).

Do đó, \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = - \overrightarrow {C{C_1}} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = - CC_1^2 = - {a^2}\).