Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Trên cạnh huyền \(BC\) lấy hai điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(BD = DE = EC.\) Qua \(D\) và \(E\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(BC,\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Tứ giác \(MDEN\) là hình gì?

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D.\)

Vì \(DB\) là tia phân giác góc \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.\)

Suy ra \(\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong). Do đó \(\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) dễ dàng chứng minh được \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ \)

\(3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ \)

\[3\widehat {{B_1}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{B_1}} = 30^\circ \]

Suy ra \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ .\]

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Khi đó \(\Delta OCD\) có \[\widehat D = \widehat C = 60^\circ \] nên là tam giác đều.

Suy ra \(OD = OC = CD.\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC.\)

Lại có \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) (do \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) vì cùng bằng \(\widehat {{D_2}})\) nên \(AB = AD\)

Suy ra \(AB = AD = BC = 3\) cm.

Vì \(OD = OC\) và \(AD = BC\) nên \(OA = OB\).

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) và \(\widehat O = 60^\circ \) nên \(\Delta OAB\) là tam giác đều.

Suy ra \(OA = OB = AB = 3\) (cm).

Khi đó \(OD = OA + AD = 3 + 3 = 6\) (cm) nên \(CD = 6\) (cm).

Chu vi của hình thang \(ABCD\) là

\(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18\) cm.

Đáp án:

Vì tia \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {DAM}\) nên \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}.\)

Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) có:

\(AI\) là cạnh huyền chung và \(\widehat {DAI} = \widehat {IAH}\)

Do đó \(\Delta ADI = \Delta AHI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AH.\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AD = AB,\) do đó \(AH = AB.\)

Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) và \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) có:

\(AK\) là cạnh huyền chung và \(AH = AB\)

Do đó \(\Delta AHK = \Delta ABK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HAK} = \widehat {BAK}.\)

Ta có \(\widehat {IAK} = \widehat {IAH} + \widehat {HAK}.\)

Khi đó \(2\widehat {IAK} = 2\widehat {IAH} + 2\widehat {HAK} = \widehat {DAH} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {IAK} = 45^\circ .\)

Đáp án: 45.