Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \(d.\) Đường thẳng \(\Delta \) không đi qua điểm nào dưới đây?

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; - 1; - 2)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\vec n = (1; - 2;1).\)

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta \subset (P)}\\{\Delta \bot d}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (5;3;1).\)

Gọi \(M = \Delta \cap d \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \Delta \subset (P)}\\{M \in d}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (P)}\\{M \in d}\end{array}} \right. \Rightarrow M = d \cap (P).\)

\( \Rightarrow \) Toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\\{x - 2y + z - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\\{1 + t - 2(2 - t) + ( - 1 - 2t) - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\\{1 + t - 4 + 2t - 1 - 2t - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\\{t = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = - 3}\\{z = - 11}\end{array}} \right. \Rightarrow M(6; - 3; - 11)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 5t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = - 11 + t}\end{array}} \right.\)

Thay toạ độ điểm \(H(2;7;13)\) vào phương trình đường thẳng

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 6 + 5t}\\{7 = - 3 + 3t}\\{13 = - 11 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{4}{5}}\\{t = \frac{{10}}{3}}\\{t = 24}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm).

Vậy \(H(2;7;13)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \) .

Đáp án cần chọn là: A