Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

a) SAI. Đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt và đổi dấu qua trục hoành tại điểm \(x = 1\). Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

b) SAI. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, nghĩa là \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.

c) SAI. Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right) > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến.

Do đó với \(2 < 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) < 0\).

d) ĐÚNG. Đạo hàm của \(g\left( x \right)\) là \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1\).

Từ đồ thị, ta thấy \(f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba và có các đặc điểm:

• Tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực đại \(x = - 2 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \({\left( {x + 2} \right)^2}\).
• Cắt trục hoành tại điểm \(x = 1 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \(\left( {x - 1} \right)\).

Do đó, công thức của đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay tọa độ giao điểm với trục tung \(\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow - 4 = - 4a \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy hàm số đạo hàm là: \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\) vào:

\(g'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\).

Xét dấu \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3,x = - 1,x = 1\). Trong khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\), ta thấy \(g'\left( x \right) > 0\).

Vì khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \left( { - 2,5; - 1,5} \right) \subset \left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng này. Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).