Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( { - 1; - 1;4} \right)\), \(C\left( {1;3;6} \right).\) Biết điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\). Tính \(b - c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số \(y = ax + b + \frac{1}{{x + c}}.\)

Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Bác An muốn xây một chiếc bể bơi cho trẻ em trong mảnh vườn hình vuông \(ABCD\) có diện tích \(144{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\). Biết bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có hai đỉnh đối diện của đáy là \(A\) và \(E\), với \(E\) thuộc đường chéo \(BD\); độ sâu của bể bơi không đổi bằng \(1,5{\rm{\;m}}\) (tham khảo hình vẽ). Chi phí lát gạch cho nền bể là \(1.000.000{\rm{\;VND/}}{{\rm{m}}^2}\) và chi phí lát gạch cho thành bể là . Hỏi khi diện tích đáy bể đạt giá trị lớn nhất thì chi phí phải bỏ ra để lát gạch cho nền và thành bể bơi này là bao nhiêu triệu đồng?

Giả sử chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) để công ty A sản xuất ra một đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức \(C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}\). Hàm tổng doanh thu đạt được khi bán được \(x\) sản phẩm là \(R\left( x \right) = 460x + 6,85{x^2}\) (nghìn đồng). Hỏi nếu chính phủ đánh thuế 15% trên một đơn vị sản phẩm bán ra thì cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí \(C\) cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm \(A\)) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm \(B\)) là \(\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một công ty sau khi mở bán sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận \(P\left( t \right)\) (đơn vị triệu đồng) sau \(t\) tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số \(P\left( t \right) = - {t^3} + 15{t^2} + mt + 50\) (\(t \in \mathbb{N},1 \le t \le 12\)) với \(m \in \mathbb{R}.\) Biết sau tháng đầu tiên mở bán, công ty thu được lợi nhuận là 136 triệu đồng. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: