Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí \(C\) cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm \(A\)) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm \(B\)) là \(\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

Đáp án:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là \(x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).

Đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = ax + b\).

Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).

Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng \(y = ax + b\):

• Với \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).
• Với \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).

Vậy ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = - 1\).

Tổng \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1\).

Đáp số: \(1\).

a) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\), đồ thị đi lên từ dưới lên tới điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right)\), hàm số đồng biến.

b) Đúng. Từ đồ thị, xét trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\), ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \(x = 0,5\), tương ứng \({y_{\max }} = 0\); giá trị nhỏ nhất đạt được tại \(x = 0\), tương ứng \({y_{\min }} = - 2\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.

c) Sai. Điểm \(x = 0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).

d) Sai. Xác định các hệ số \(a,b,c,d\):

Hàm số đạt cực trị tại \(x = - 1\) và \(x = 0\), do đó \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có nghiệm là \( - 1\) và \(0\).

Theo định lí Vi-ét:

\( - 1 + 0 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow - 1 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow 3a = 2b\)

\( - 1 \cdot 0 = \frac{c}{{3a}} \Rightarrow c = 0\)

Đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow d = - 2\).

Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow - a + b - 2 = 0 \Rightarrow - a + b = 2\).

Thay \(b = \frac{3}{2}a\) vào: \( - a + \frac{3}{2}a = 2 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow b = 6\).

Tính giá trị biểu thức: \(3a + 2b + c - d = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 0 - \left( { - 2} \right) = 26 \ne 25\).