Giả sử chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) để công ty A sản xuất ra một đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức \(C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}\). Hàm tổng doanh thu đạt được khi bán được \(x\) sản phẩm là \(R\left( x \right) = 460x + 6,85{x^2}\) (nghìn đồng). Hỏi nếu chính phủ đánh thuế 15% trên một đơn vị sản phẩm bán ra thì cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đề bài cho biết chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \(C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}\).
Do đó, tổng chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm là: \({T_c}\left( x \right) = x \cdot C\left( x \right) = x\left( {9x - 300 + \frac{{400}}{x}} \right) = 9{x^2} - 300x + 400\).
Hàm tổng doanh thu: \(R\left( x \right) = 460x + 6,85{x^2}\).
Chi phí thuế phát sinh (\({T_x}\)): Chính phủ đánh thuế \(15\% \) trên một đơn vị sản phẩm bán ra ứng với việc tổng số thuế phải nộp cho \(x\) sản phẩm bằng \(15\% \) tổng doanh thu:
\({T_x}\left( x \right) = 15\% \cdot R\left( x \right) = 0,15 \cdot \left( {460x + 6,85{x^2}} \right) = 69x + 1,0275{x^2}\).
Lợi nhuận ròng thu được sau khi trừ chi phí sản xuất và thuế là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - {T_c}\left( x \right) - {T_x}\left( x \right)\)\( = \left( {460x + 6,85{x^2}} \right) - \left( {9{x^2} - 300x + 400} \right) - \left( {69x + 1,0275{x^2}} \right)\)\( = - 3,1775{x^2} + 691x - 400\quad \left( {x > 0} \right)\).
Hàm số \(P\left( x \right)\) là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì hệ số \(a = - 3,1775 < 0\)). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:
\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{691}}{{2 \cdot \left( { - 3,1775} \right)}} = \frac{{691}}{{6,355}} \approx 108,73\).
Vì số lượng sản phẩm \(x\) phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần đỉnh nhất là \(x = 108\) và \(x = 109\):
- Với \(x = 108\): \(P\left( {108} \right) = - 3,1775 \cdot {108^2} + 691 \cdot 108 - 400 = 37171,12\).
- Với \(x = 109\): \(P\left( {109} \right) = - 3,1775 \cdot {109^2} + 691 \cdot 109 - 400 = 37171,4025\).
Ta thấy \(P\left( {109} \right) > P\left( {108} \right)\).
Vậy công ty cần sản xuất và bán 109 sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Đáp số: \(109\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là \(x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).
Đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = ax + b\).
Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng \(y = ax + b\):
- Với \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).
- Với \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).
Vậy ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = - 1\).
Tổng \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1\).
Đáp số: \(1\).
Câu 2
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
b. Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.
c. \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).
d. \(3a + 2b + c - d = 25.\)
Lời giải
a) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\), đồ thị đi lên từ dưới lên tới điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right)\), hàm số đồng biến.
b) Đúng. Từ đồ thị, xét trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\), ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \(x = 0,5\), tương ứng \({y_{\max }} = 0\); giá trị nhỏ nhất đạt được tại \(x = 0\), tương ứng \({y_{\min }} = - 2\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.
c) Sai. Điểm \(x = 0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).
d) Sai. Xác định các hệ số \(a,b,c,d\):
Hàm số đạt cực trị tại \(x = - 1\) và \(x = 0\), do đó \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có nghiệm là \( - 1\) và \(0\).
Theo định lí Vi-ét:
\( - 1 + 0 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow - 1 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow 3a = 2b\)
\( - 1 \cdot 0 = \frac{c}{{3a}} \Rightarrow c = 0\)
Đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow d = - 2\).
Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow - a + b - 2 = 0 \Rightarrow - a + b = 2\).
Thay \(b = \frac{3}{2}a\) vào: \( - a + \frac{3}{2}a = 2 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow b = 6\).
Tính giá trị biểu thức: \(3a + 2b + c - d = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 0 - \left( { - 2} \right) = 26 \ne 25\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 50.\)
b. Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm \(t = 3\).
c. Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được là 246 triệu đồng.
d. Tại thời điểm \(t = 5\) thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập