Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;1} \right)\), \(C\left( { - 1; - 1;4} \right).\) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. Cho \(P\) là điểm thỏa mãn biểu thức vectơ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \). Khi đó \(\overrightarrow {DP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \).
b. Tọa độ của vectơ \(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là \(\left( {4; - 1; - 3} \right)\).
c. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
d. Cho điểm \(G\) di động trên mặt phẳng \(Oxy\), khi đó biểu thức \(M = \left| {\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\widehat {AGB}\) là góc tù.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. Từ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DP} = 3\left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DP} } \right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DP} = 3\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {DP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).
b) Sai. Ta tính các vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1; - 2 - 0;1 - 2} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 1;2} \right)\)
\(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\left( {2; - 2; - 1} \right) + \left( { - 2; - 1;2} \right) = \left( {4 - 2; - 4 - 1; - 2 + 2} \right) = \left( {2; - 5;0} \right)\).
c) Đúng. Chèn điểm theo quy tắc ba điểm:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
Mệnh đề này luôn đúng với mọi bốn điểm \(ABCD\).
d) Sai. Tìm điểm tâm tỉ cự \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Tọa độ điểm \(I\):
\({x_I} = \frac{{{x_A} + 2{x_B} + 3{x_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{1 + 2\left( 3 \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
\({y_I} = \frac{{{y_A} + 2{y_B} + 3{y_C}}}{6} = \frac{{0 + 2\left( { - 2} \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = - \frac{7}{6}\)
\({z_I} = \frac{{{z_A} + 2{z_B} + 3{z_C}}}{6} = \frac{{2 + 2\left( 1 \right) + 3\left( 4 \right)}}{6} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\)
Khi đó, \(M = \left| {6\overrightarrow {GI} } \right| = 6GI\). Để \(M\) nhỏ nhất thì \(G\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Vì \(G \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{7}{6};0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};2} \right)\), \(\overrightarrow {GB} = \left( {\frac{7}{3}; - \frac{5}{6};1} \right)\).
Khi đó \(\cos \widehat {AGB} = \cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} }}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {GB} } \right|}} \approx 0,36 > 0\) nên \(\widehat {AGB}\) là góc nhọn.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là \(x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).
Đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = ax + b\).
Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng \(y = ax + b\):
- Với \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).
- Với \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).
Vậy ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = - 1\).
Tổng \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1\).
Đáp số: \(1\).
Câu 2
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
b. Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.
c. \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).
d. \(3a + 2b + c - d = 25.\)
Lời giải
a) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\), đồ thị đi lên từ dưới lên tới điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right)\), hàm số đồng biến.
b) Đúng. Từ đồ thị, xét trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\), ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \(x = 0,5\), tương ứng \({y_{\max }} = 0\); giá trị nhỏ nhất đạt được tại \(x = 0\), tương ứng \({y_{\min }} = - 2\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.
c) Sai. Điểm \(x = 0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).
d) Sai. Xác định các hệ số \(a,b,c,d\):
Hàm số đạt cực trị tại \(x = - 1\) và \(x = 0\), do đó \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có nghiệm là \( - 1\) và \(0\).
Theo định lí Vi-ét:
\( - 1 + 0 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow - 1 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow 3a = 2b\)
\( - 1 \cdot 0 = \frac{c}{{3a}} \Rightarrow c = 0\)
Đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow d = - 2\).
Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow - a + b - 2 = 0 \Rightarrow - a + b = 2\).
Thay \(b = \frac{3}{2}a\) vào: \( - a + \frac{3}{2}a = 2 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow b = 6\).
Tính giá trị biểu thức: \(3a + 2b + c - d = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 0 - \left( { - 2} \right) = 26 \ne 25\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 50.\)
b. Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm \(t = 3\).
c. Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được là 246 triệu đồng.
d. Tại thời điểm \(t = 5\) thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập