Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;1} \right)\), \(C\left( { - 1; - 1;4} \right).\) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. Cho \(P\) là điểm thỏa mãn biểu thức vectơ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \). Khi đó \(\overrightarrow {DP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \).
b. Tọa độ của vectơ \(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là \(\left( {4; - 1; - 3} \right)\).
c. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
d. Cho điểm \(G\) di động trên mặt phẳng \(Oxy\), khi đó biểu thức \(M = \left| {\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\widehat {AGB}\) là góc tù.
Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. Từ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DP} = 3\left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DP} } \right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DP} = 3\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {DP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).
b) Sai. Ta tính các vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1; - 2 - 0;1 - 2} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 1;2} \right)\)
\(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\left( {2; - 2; - 1} \right) + \left( { - 2; - 1;2} \right) = \left( {4 - 2; - 4 - 1; - 2 + 2} \right) = \left( {2; - 5;0} \right)\).
c) Đúng. Chèn điểm theo quy tắc ba điểm:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
Mệnh đề này luôn đúng với mọi bốn điểm \(ABCD\).
d) Sai. Tìm điểm tâm tỉ cự \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Tọa độ điểm \(I\):
\({x_I} = \frac{{{x_A} + 2{x_B} + 3{x_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{1 + 2\left( 3 \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
\({y_I} = \frac{{{y_A} + 2{y_B} + 3{y_C}}}{6} = \frac{{0 + 2\left( { - 2} \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = - \frac{7}{6}\)
\({z_I} = \frac{{{z_A} + 2{z_B} + 3{z_C}}}{6} = \frac{{2 + 2\left( 1 \right) + 3\left( 4 \right)}}{6} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\)
Khi đó, \(M = \left| {6\overrightarrow {GI} } \right| = 6GI\). Để \(M\) nhỏ nhất thì \(G\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Vì \(G \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{7}{6};0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};2} \right)\), \(\overrightarrow {GB} = \left( {\frac{7}{3}; - \frac{5}{6};1} \right)\).
Khi đó \(\cos \widehat {AGB} = \cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} }}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {GB} } \right|}} \approx 0,36 > 0\) nên \(\widehat {AGB}\) là góc nhọn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là \(x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1\).
Đường tiệm cận xiên của hàm số là \(y = ax + b\).
Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).
Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng \(y = ax + b\):
- Với \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1\).
- Với \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).
Vậy ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = - 1\).
Tổng \(a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1\).
Đáp số: \(1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Mảnh vườn hình vuông \(ABCD\) có diện tích \(144{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow \) Cạnh hình vuông bằng \(\sqrt {144} = 12{\rm{\;m}}\).
Chọn hệ trục tọa độ sao cho \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), các cạnh \(AB\) và \(AD\) lần lượt nằm trên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\). Khi đó \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {12;0} \right)\), \(D\left( {0;12} \right)\), \(C\left( {12;12} \right)\).
Đường chéo \(BD\) có phương trình là \(x + y = 12\).
Vì \(E \in BD\) nên gọi tọa độ điểm \(E\left( {x;y} \right)\) với \(x + y = 12\) (\(0 < x,y < 12\)).
Bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là \(A\left( {0;0} \right)\) và \(E\left( {x;y} \right)\), có kích thước chiều dài và rộng chính là \(x\) và \(y\).
Diện tích đáy bể là: \(S = x \cdot y\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(S = x \cdot y \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Diện tích đáy lớn nhất đạt bằng \(36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) khi \(x = y = 6{\rm{\;m}}\) (khi đó đáy bể là hình vuông cạnh \(6{\rm{\;m}}\)).
Tính toán chi phí khi đáy đạt diện tích lớn nhất (\(x = 6,y = 6\)):
- Diện tích nền bể: \({S_1} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
- Chi phí lát nền: \(36 \cdot 1.000.000 = 36.000.000{\rm{\;VND}} = 36\) (triệu đồng).
- Chu vi đáy bể: \(P = 2 \cdot \left( {6 + 6} \right) = 24{\rm{\;m}}\).
- Diện tích xung quanh (thành bể): \({S_{th\`a nh}} = P \cdot h = 24 \cdot 1,5 = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
- Chi phí lát thành bể: \(36 \cdot 500.000 = 18.000.000{\rm{\;VND}} = 18\) (triệu đồng).
Tổng chi phí: \(36 + 18 = 54\) (triệu đồng).
Đáp số: \(54\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
b. Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng −2.
c. \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm có hoành độ \(x = 0\).
d. \(3a + 2b + c - d = 25.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 50.\)
b. Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm \(t = 3\).
c. Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được là 246 triệu đồng.
d. Tại thời điểm \(t = 5\) thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập