Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?

a) Sai. Nhìn vào đồ thị, tại điểm \(x = 0\), đồ thị lõm xuống dưới và đổi dấu đạo hàm từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\) và giá trị cực tiểu tương ứng \(y = 1\).

b) Đúng. Trên đồ thị ta thấy giao điểm với trục tung \(Oy\) nằm tại vị trí có tung độ bằng \(1\), nên tọa độ là \(\left( {0;1} \right)\).

c) Sai. Trong khoảng từ \( - \infty \) đến \( - 1\), đồ thị hàm số vừa đi lên vừa đi xuống nên không thể đồng biến trên khoảng này.

d) Sai. Dựa vào đồ thị, ta xác định được các điểm đặc biệt sau:

• Đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và đây đồng thời là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Vì đi qua \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f\left( 0 \right) = d = 1\).
  • Vì đạt cực trị tại \(x = 0\) nên \(f'\left( 0 \right) = c = 0\).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow - a + b + 1 = 2 \Leftrightarrow - a + b = 1\) (1).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b + 1 = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b = 0\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\ - 8a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy hàm số cụ thể là: \(y = {x^3} + 2{x^2} + 1\).

Thay các hệ số vừa tìm được (\(a = 1,b = 2,c = 0\)) vào biểu thức: \(2a + 3b + c = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 = 8 \ne 9\).

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2} \right)\), do đó giá trị lớn nhất \(M = 2\).

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm có tọa độ \(\left( {2; - 4} \right)\), do đó giá trị nhỏ nhất \(m = - 4\).

Vậy tổng \(M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).

Chọn B.