Cho hình thang \(ABCD\) \(\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\) có \(CD = 14\) cm. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Đường thẳng qua \(M\) song song với đáy \(AB\) cắt đường chéo \(BD\) tại \(P\) và cắt cạnh \(BC\) tại \(N\). Độ dài đoạn thẳng \(PN\) là:

Xét \(\Delta ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì \(P\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MP = \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{4}AB.\)

Suy ra \[AP = AM + MP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB.\]                                                                             Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{3}{4}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)

Như vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\) nên \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\) (định lí Thalès đảo).

Xét \(\Delta MNC\) có \(Q\) là trung điểm của \(NC\) và \(IQ\,{\rm{//}}\,MN\) (cùng song song với \(BC)\) nên \(IQ\) là đường trung bình của \(\Delta MNC\), do đó \(IQ = \frac{1}{2}MN,\) suy ra \(MN = 2IQ = 2 \cdot 2,5 = 5\) (cm).

Như vậy \(BC = 2MN = 2 \cdot 5 = 10\) (cm).

Đáp án: 10.

a)    Đúng. Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AED}\).

Mà \(AE\) là tia phân giác của góc \(A\) nên \(\widehat {DAE} = \widehat {BAE}\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {AED}\), do đó tam giác \(ADE\) cân tại \(D\).

Vậy \(DE = AD = 6\) cm.

b)   Đúng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD = AB = 10\) cm.

Suy ra \(EC = CD - DE = 10 - 6 = 4\) cm.

Do đó \(\frac{{EC}}{{AB}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC = AD = 6\) cm.

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{EC}}{{AB}} = \frac{2}{5}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Suy ra \(\frac{{FC}}{{FC + BC}} = \frac{2}{5}\) hay \(\frac{{FC}}{{FC + 6}} = \frac{2}{5}\) nên \(5FC = 2FC + 12\)

Do đó \(FC = 4\) cm.

d) Đúng. Kẻ đường cao \(EH \bot BC\) tại \(H\) và đường cao \(AK \bot BC\) tại \(K\).

Suy ra \(EH\,{\rm{//}}\,AK\).

Xét \(FAK\) có \(EH\,{\rm{//}}\,AK\) nên \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FE}}{{FA}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\)

Suy ra \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó \(\frac{{{S_{EFC}}}}{{{S_{ABF}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot EH \cdot FC}}{{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot FB}} = \frac{{EH}}{{AK}} \cdot \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{{25}}\).