Cho tam giác \(DEF\) có \(DE = 5\) cm, \(DF = 7\) cm, \(EF = 6\) cm. Kẻ đường phân giác trong \(DM\) \(\left( {M \in EF} \right)\) và đường phân giác ngoài \(DN\) \((N\) thuộc đường thẳng \(EF).\) Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là:

a)    Đúng. Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AED}\).

Mà \(AE\) là tia phân giác của góc \(A\) nên \(\widehat {DAE} = \widehat {BAE}\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {AED}\), do đó tam giác \(ADE\) cân tại \(D\).

Vậy \(DE = AD = 6\) cm.

b)   Đúng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD = AB = 10\) cm.

Suy ra \(EC = CD - DE = 10 - 6 = 4\) cm.

Do đó \(\frac{{EC}}{{AB}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC = AD = 6\) cm.

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{EC}}{{AB}} = \frac{2}{5}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Suy ra \(\frac{{FC}}{{FC + BC}} = \frac{2}{5}\) hay \(\frac{{FC}}{{FC + 6}} = \frac{2}{5}\) nên \(5FC = 2FC + 12\)

Do đó \(FC = 4\) cm.

d) Đúng. Kẻ đường cao \(EH \bot BC\) tại \(H\) và đường cao \(AK \bot BC\) tại \(K\).

Suy ra \(EH\,{\rm{//}}\,AK\).

Xét \(FAK\) có \(EH\,{\rm{//}}\,AK\) nên \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FE}}{{FA}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\)

Suy ra \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó \(\frac{{{S_{EFC}}}}{{{S_{ABF}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot EH \cdot FC}}{{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot FB}} = \frac{{EH}}{{AK}} \cdot \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{{25}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì \(P\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MP = \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{4}AB.\)

Suy ra \[AP = AM + MP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB.\]                                                                             Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{3}{4}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)

Như vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\) nên \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\) (định lí Thalès đảo).

Xét \(\Delta MNC\) có \(Q\) là trung điểm của \(NC\) và \(IQ\,{\rm{//}}\,MN\) (cùng song song với \(BC)\) nên \(IQ\) là đường trung bình của \(\Delta MNC\), do đó \(IQ = \frac{1}{2}MN,\) suy ra \(MN = 2IQ = 2 \cdot 2,5 = 5\) (cm).

Như vậy \(BC = 2MN = 2 \cdot 5 = 10\) (cm).

Đáp án: 10.