Cho tam giác \(DEF\) có \(DE = 5\) cm, \(DF = 7\) cm, \(EF = 6\) cm. Kẻ đường phân giác trong \(DM\) \(\left( {M \in EF} \right)\) và đường phân giác ngoài \(DN\) \((N\) thuộc đường thẳng \(EF).\) Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là:

Xét \(\Delta ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB = \frac{1}{2}AB.\)

Vì \(P\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MP = \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{4}AB.\)

Suy ra \[AP = AM + MP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB.\]                                                                             Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{3}{4}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\frac{{AQ}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)

Như vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\) nên \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\) (định lí Thalès đảo).

Xét \(\Delta MNC\) có \(Q\) là trung điểm của \(NC\) và \(IQ\,{\rm{//}}\,MN\) (cùng song song với \(BC)\) nên \(IQ\) là đường trung bình của \(\Delta MNC\), do đó \(IQ = \frac{1}{2}MN,\) suy ra \(MN = 2IQ = 2 \cdot 2,5 = 5\) (cm).

Như vậy \(BC = 2MN = 2 \cdot 5 = 10\) (cm).

Đáp án: 10.

⦁ Tứ giác \(BDEF\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BF\) (do \(DE\,{\rm{//}}\,AB)\) và \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) (do \(EF\,{\rm{//}}\,BC)\) nên nó là hình bình hành.

Suy ra \(BF = DE\).

⦁ Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là phân giác góc \(A\) nên \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2}.\)

Suy ra \(\frac{{DC}}{{DB + DC}} = \frac{3}{{3 + 2}}\) hay \(\frac{{CD}}{{CB}} = \frac{3}{5}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{3}{5}.\)

Suy ra \(DE = \frac{3}{5}AB = \frac{3}{5} \cdot 8 = 4,8\) (cm).

Vậy \(BF = 4,8\) cm.

Đáp án: 4,8.