Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(MB,NC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(MC.\) Biết \(IQ = 2,5\) cm. Tính độ dài đáy \(BC\) (tính bằng cm).

Đáp án: ___

Chọn B

Trên \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(D',\,\,E'\) sao cho \(AD' = AD,\,\,AE' = AE\).

Khi đó \(A\) là trung điểm của \(DD'\) và \(EE'\) nên tứ giác \(DED'E'\) là hình bình hành.

Suy ra \(DE\,{\rm{//}}\,D'E'\) và \(DE = D'E'.\)

Mà \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(D'E'\,{\rm{//}}\,BC\).

Xét \[\Delta ABC\] có \(D'E'\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\frac{{D'E'}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Mà \(DE = D'E'\) suy ra \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)

Thay số: \(\frac{{DE}}{{15}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(DE = 10\) cm.

a)    Đúng. Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AED}\).

Mà \(AE\) là tia phân giác của góc \(A\) nên \(\widehat {DAE} = \widehat {BAE}\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {AED}\), do đó tam giác \(ADE\) cân tại \(D\).

Vậy \(DE = AD = 6\) cm.

b)   Đúng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD = AB = 10\) cm.

Suy ra \(EC = CD - DE = 10 - 6 = 4\) cm.

Do đó \(\frac{{EC}}{{AB}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC = AD = 6\) cm.

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{EC}}{{AB}} = \frac{2}{5}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Suy ra \(\frac{{FC}}{{FC + BC}} = \frac{2}{5}\) hay \(\frac{{FC}}{{FC + 6}} = \frac{2}{5}\) nên \(5FC = 2FC + 12\)

Do đó \(FC = 4\) cm.

d) Đúng. Kẻ đường cao \(EH \bot BC\) tại \(H\) và đường cao \(AK \bot BC\) tại \(K\).

Suy ra \(EH\,{\rm{//}}\,AK\).

Xét \(FAK\) có \(EH\,{\rm{//}}\,AK\) nên \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FE}}{{FA}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự Câu 1, Phần 1, Đề số 1).

Xét \(\Delta FAB\) có \(EC\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(\frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\)

Suy ra \(\frac{{EH}}{{AK}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó \(\frac{{{S_{EFC}}}}{{{S_{ABF}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot EH \cdot FC}}{{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot FB}} = \frac{{EH}}{{AK}} \cdot \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{{25}}\).