Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x\ln x\) trên đoạn \(\left[ {{e^{ - 2}};e} \right]\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) ĐÚNG: Điều kiện để hàm số xác định là: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\). Vậy \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).

b) ĐÚNG: Đạo hàm của hàm số: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\);

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { - 2;2} \right).\)

c) SAI: Tại các biên \(x = \pm 2\), ta có \(f\left( { \pm 2} \right) = 0\). Tại điểm cực trị \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\). Khẳng định phát biểu giá trị nhỏ nhất bằng 2 là sai.

d) ĐÚNG: Đặt \(t = f\left( x \right)\). Vì \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(t \in \left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t + 1}}\).

Ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Do đó giá trị lớn nhất đạt được khi \(t\) đạt giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{2 + 1}} = 0\).

Đáp án:

Đạo hàm của hàm số bậc ba là một hàm số bậc hai có dạng: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Vì đồ thị đạo hàm cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \(x = - 1\) và \(x = 2\), nên phương trình đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = k\left( {{x^2} - x - 2} \right)\).

Mặt khác, đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\), suy ra: \(f'\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow - 2k = - 2 \Rightarrow k = 1\).

Do đó: \(f'\left( x \right) = {x^2} - x - 2\). Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\2b = - 1\\c = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}b = - \frac{1}{2}\\c = - 2\end{array}\end{array}} \right.\).

Theo đề bài \(f\left( 0 \right) = \frac{{13}}{6} \Rightarrow d = \frac{{13}}{6}\).

Như vậy \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + \frac{{13}}{6}\).

Từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x = - 1\). Do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

Giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{{13}}{6} = \frac{{10}}{3} \approx 3,33\).

Kết quả: 3,33.