Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\) .

(a) Xét tính đơn điệu của hàm số.

(b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Đáp án:

Hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 2x - 11}}{{x - 2}}\)\( = 2x + 6 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Phương trình đường tiệm cận xiên là \(d:y = 2x + 6\).

Tìm giao điểm của \(d\) với hai trục tọa độ:

Giao điểm với trục hoành \(Ox\) (\(y = 0 \Rightarrow x = - 3\)): \(A\left( { - 3;0} \right) \Rightarrow OA = 3\).

Giao điểm với trục tung \(Oy\) (\(x = 0 \Rightarrow y = 6\)): \(B\left( {0;6} \right) \Rightarrow OB = 6\).

Diện tích tam giác vuông \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\).

Đáp số: 9.

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho bờ \(AE\) nằm trên trục hoành và đường thẳng \(AB\) nằm trên trục tung và điểm \(A\) làm gốc tọa độ \(A\left( {0;0} \right)\). Khi đó:

• Bờ \(AE\) thuộc trục \(Ox \Rightarrow E\left( {40;0} \right)\).
• Bờ \(AB\) và \(DE\) vuông góc với \(AE \Rightarrow B\left( {0;20} \right)\) và \(D\left( {40;20} \right)\).
• Điểm \(H\) thuộc \(AE\) có \(AH = 30 \Rightarrow H\left( {30;0} \right)\).
• Điểm \(K\) thuộc \(AB\) có \(AK = 10 \Rightarrow K\left( {0;10} \right)\).
• Điểm \(C\) là điểm cực tiểu của đồ thị, có hình chiếu xuống hai trục là \(H\) và \(K \Rightarrow C\left( {30;10} \right)\).

Giả sử hàm số bậc ba biểu diễn bờ cong có dạng: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\quad \left( {a \ne 0} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(B\left( {0;20} \right)\), \(D\left( {40;20} \right)\), \(C\left( {30;10} \right)\) và có điểm cực trị tại \(C\left( {30;10} \right)\) nên đạo hàm \(f'\left( {30} \right) = 0\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Từ các dữ kiện trên, ta thiết lập hệ phương trình:

\(f\left( 0 \right) = 20 \Rightarrow d = 20\);

\(f\left( {30} \right) = 10 \Rightarrow 27000a + 900b + 30c + 20 = 10 \Leftrightarrow 27000a + 900b + 30c = - 10\);

\(f\left( {40} \right) = 20 \Rightarrow 64000a + 1600b + 40c + 20 = 20 \Leftrightarrow 64000a + 1600b + 40c = 0\);

\(f'\left( {30} \right) = 0 \Rightarrow 2700a + 60b + c = 0\).

Giải hệ phương trình gồm 3 ẩn \(a,b,c\), ta tìm được: \(a = \frac{1}{{450}},\quad b = - \frac{{11}}{{90}},\quad c = \frac{4}{3}\).

Vậy phương trình đường cong là: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{450}}{x^3} - \frac{{11}}{{90}}{x^2} + \frac{4}{3}x + 20\).

Vận động viên bơi vuông góc từ một điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên bờ cong xuống bờ \(AE\) (trục \(Ox\)), do đó độ dài đường bơi chính bằng tung độ \(y = f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {0;40} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{150}}{x^2} - \frac{{11}}{{45}}x + \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 30}\\{x = \frac{{20}}{3}}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trên đoạn \(\left[ {0;40} \right]\):

\(f\left( 0 \right) = 20{\rm{\;m}}\); \(f\left( {40} \right) = 20{\rm{\;m}}\); \(f\left( {30} \right) = 10{\rm{\;m}}\) (Giá trị nhỏ nhất);

\(f\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{1}{{450}} \cdot {\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^3} - \frac{{11}}{{90}} \cdot {\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \cdot \left( {\frac{{20}}{3}} \right) + 20 = \frac{{5860}}{{243}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (Giá trị lớn nhất).

Đường bơi ngắn nhất là \({d_{{\rm{min}}}} = 10{\rm{\;m}}\). Theo đề bài, thời gian ngắn nhất là \(5\) giây, suy ra vận tốc của vận động viên là: \(v = \frac{{{d_{{\rm{min}}}}}}{{{t_{{\rm{min}}}}}} = \frac{{10}}{5} = 2{\rm{\;m/s}}\).

Đường bơi dài nhất là \({d_{{\rm{max}}}} = \frac{{5860}}{{243}}{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Thời gian thực hiện đường bơi dài nhất là: \({t_{{\rm{max}}}} = \frac{{{d_{{\rm{max}}}}}}{v} \approx 12,058{\rm{\;gi\^a y}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười, thời gian bơi dài nhất là 12,1 giây.

Đáp số: 12,1.