Một hồ bơi có hình dạng như phần tô đậm trong hình vẽ bên. Bờ cong của hồ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba.

Biết \(AB = DE = 20\,{\rm{m}},AE = 40\,{\rm{m}},AH = 30\,{\rm{m}},AK = 10\,{\rm{m}}\). Một vận động viên xuất phát từ một vị trí bất kỳ trên bờ cong của hồ để bơi đến bờ \(AE\) với vận tốc không đổi theo phương vuông góc với bờ \(AE\). Trong tất cả các đường bơi này, nếu thời gian để thực hiện đường bơi ngắn nhất là \(5\) giây thì thời gian để thực hiện đường bơi dài nhất là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho bờ \(AE\) nằm trên trục hoành và đường thẳng \(AB\) nằm trên trục tung và điểm \(A\) làm gốc tọa độ \(A\left( {0;0} \right)\). Khi đó:

• Bờ \(AE\) thuộc trục \(Ox \Rightarrow E\left( {40;0} \right)\).
• Bờ \(AB\) và \(DE\) vuông góc với \(AE \Rightarrow B\left( {0;20} \right)\) và \(D\left( {40;20} \right)\).
• Điểm \(H\) thuộc \(AE\) có \(AH = 30 \Rightarrow H\left( {30;0} \right)\).
• Điểm \(K\) thuộc \(AB\) có \(AK = 10 \Rightarrow K\left( {0;10} \right)\).
• Điểm \(C\) là điểm cực tiểu của đồ thị, có hình chiếu xuống hai trục là \(H\) và \(K \Rightarrow C\left( {30;10} \right)\).

Giả sử hàm số bậc ba biểu diễn bờ cong có dạng: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\quad \left( {a \ne 0} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(B\left( {0;20} \right)\), \(D\left( {40;20} \right)\), \(C\left( {30;10} \right)\) và có điểm cực trị tại \(C\left( {30;10} \right)\) nên đạo hàm \(f'\left( {30} \right) = 0\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Từ các dữ kiện trên, ta thiết lập hệ phương trình:

\(f\left( 0 \right) = 20 \Rightarrow d = 20\);

\(f\left( {30} \right) = 10 \Rightarrow 27000a + 900b + 30c + 20 = 10 \Leftrightarrow 27000a + 900b + 30c = - 10\);

\(f\left( {40} \right) = 20 \Rightarrow 64000a + 1600b + 40c + 20 = 20 \Leftrightarrow 64000a + 1600b + 40c = 0\);

\(f'\left( {30} \right) = 0 \Rightarrow 2700a + 60b + c = 0\).

Giải hệ phương trình gồm 3 ẩn \(a,b,c\), ta tìm được: \(a = \frac{1}{{450}},\quad b = - \frac{{11}}{{90}},\quad c = \frac{4}{3}\).

Vậy phương trình đường cong là: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{450}}{x^3} - \frac{{11}}{{90}}{x^2} + \frac{4}{3}x + 20\).

Vận động viên bơi vuông góc từ một điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) trên bờ cong xuống bờ \(AE\) (trục \(Ox\)), do đó độ dài đường bơi chính bằng tung độ \(y = f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {0;40} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{150}}{x^2} - \frac{{11}}{{45}}x + \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 30}\\{x = \frac{{20}}{3}}\end{array}} \right.\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trên đoạn \(\left[ {0;40} \right]\):

\(f\left( 0 \right) = 20{\rm{\;m}}\); \(f\left( {40} \right) = 20{\rm{\;m}}\); \(f\left( {30} \right) = 10{\rm{\;m}}\) (Giá trị nhỏ nhất);

\(f\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{1}{{450}} \cdot {\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^3} - \frac{{11}}{{90}} \cdot {\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \cdot \left( {\frac{{20}}{3}} \right) + 20 = \frac{{5860}}{{243}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (Giá trị lớn nhất).

Đường bơi ngắn nhất là \({d_{{\rm{min}}}} = 10{\rm{\;m}}\). Theo đề bài, thời gian ngắn nhất là \(5\) giây, suy ra vận tốc của vận động viên là: \(v = \frac{{{d_{{\rm{min}}}}}}{{{t_{{\rm{min}}}}}} = \frac{{10}}{5} = 2{\rm{\;m/s}}\).

Đường bơi dài nhất là \({d_{{\rm{max}}}} = \frac{{5860}}{{243}}{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Thời gian thực hiện đường bơi dài nhất là: \({t_{{\rm{max}}}} = \frac{{{d_{{\rm{max}}}}}}{v} \approx 12,058{\rm{\;gi\^a y}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười, thời gian bơi dài nhất là 12,1 giây.

Đáp số: 12,1.