Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\) và \(q = 2\). Hỏi số \(1024\) là số hạng thứ mấy?

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {8x + 1} }}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {3 - \sqrt {8x + 1} } \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{9 - \left( {8x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{8 - 8x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {8x + 1} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 8}}{{3 + \sqrt {8x + 1} }}\)\( = - \frac{4}{3}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^3} + 27}}{{\left| {{x^2} + 5x + 6} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}{{ - \left| {\left( {x + 2} \right)} \right|\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{ - \left| {x + 2} \right|}}\)\( = - 27\).

a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\): \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Mặt khác, trong hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song với nhau.

Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

b) Do \(AB{\rm{//}}CD\), theo định lý Thales trong tam giác đối đỉnh tạo bởi giao điểm \(O\) của hai đường chéo hình thang, ta có: \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}}\).

Theo giả thiết \(AB = 2DC \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = 2\). Do đó: \(\frac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Xét cạnh \(AB\): vì \(M \in AB\) và \(AM = 2MB\), ta có: \(AM = \frac{2}{3}AB \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Trong tam giác \(ABC\), xét hai tỉ số trên các cạnh \(AC\) và \(AB\): \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(ABC\), ta suy ra: \(OM{\rm{//}}BC\).

Mặt khác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OM{\rm{//}}BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) (đpcm).

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SC\) và \(F\) là giao điểm của \[OG\] và \(SA\).

Ta có: \(\frac{{AG}}{{GN}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 2\) (\(G\) là trọng tâm giác \(SAC\)) \( \Rightarrow OG{\rm{//}}SC \Rightarrow OF{\rm{//}}SC\).

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{FS}} = \frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AM}}{{MB}} \Rightarrow MF{\rm{//}}SB\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF{\rm{//}}SB}\\{\left( {SBD} \right) \cap \left( {OMG} \right) = OK}\end{array}} \right. \Rightarrow OK{\rm{//}}SB{\rm{//}}MF\)\( \Rightarrow \frac{{MG}}{{GK}} = \frac{{FG}}{{GO}} = \frac{{SN}}{{NC}} = 1\).

Vậy \(\frac{{{S_{OMG}}}}{{{S_{OKG}}}} = \frac{{MG}}{{GK}} = 1\).