Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB{\rm{//}}CD\) và \(AB = 2DC\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh \(OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MG\) với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh diện tích của tam giác \[OMG\] bằng diện tích của tam giác \(OKG\). 

Phân tích đợt thứ nhất:

Dãy số tiền tích góp mỗi tháng ở đợt 1 là một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d = 2\).

Số hạng thứ 10 là \({u_{10}} = 21\). Ta có: \({u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow 21 = {u_1} + 9 \cdot 2 \Rightarrow {u_1} = 3\) (triệu đồng).

Như vậy ý b) đúng.

Gọi \(n\) là số tháng tích góp của đợt thứ nhất. Tổng số tiền tích góp được trong đợt 1 là \({S_n} = 624\) triệu đồng.

\({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Rightarrow 624 = \frac{{n\left[ {2 \cdot 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2}\)\( \Leftrightarrow 624 = \frac{{n\left( {6 + 2n - 2} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 4} \right)}}{2} = n\left( {n + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + 2n - 624 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 24}\\{n = - 26{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.\).

Vậy anh An tích góp đợt 1 trong \(24\) tháng. Như vậy ý c) sai (đề ghi là 25 tháng).

Phân tích đợt thứ hai:

Số tiền tích góp của đợt 2 là một cấp số nhân \(\left( {{v_m}} \right)\) với \({v_1} = 5\) triệu đồng và tháng tiếp theo gấp đôi tháng trước nên công bội \(q = 2\). Như vậy ý a) đúng.

Số tiền còn lại cần tích góp ở đợt 2 để đủ mua xe: \(1259 - 624 = 635\) (triệu đồng).

Gọi \(m\) là số tháng tích góp của đợt 2. Tổng số tiền đợt 2 phải đạt tối thiểu là \(635\) triệu đồng:

\({T_m} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} = 5 \cdot \frac{{1 - {2^m}}}{{1 - 2}} = 5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right)\)

Ta có yêu cầu: \(5 \cdot \left( {{2^m} - 1} \right) \ge 635 \Leftrightarrow {2^m} - 1 \ge 127 \Leftrightarrow {2^m} \ge 128 \Leftrightarrow m \ge 7\).

Do đó, số tháng tối thiểu để tích góp ở đợt 2 là \(7\) tháng.

Tổng số tháng tích góp ở cả hai đợt ít nhất là: \(n + m = 24 + 7 = 31{\rm{\;(th\'a ng)}}\).

Như vậy ý d) đúng.

Kết luận:

a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG

Tính giá trị đại diện của các nhóm:

\(\left[ {0;1} \right) \to 0,5\)

\(\left[ {1;2} \right) \to 1,5\)

\(\left[ {2;3} \right) \to 2,5\)

\(\left[ {3;4} \right) \to 3,5\)

\(\left[ {4;5} \right) \to 4,5\)

\(\left[ {5;6} \right) \to 5,5\)

\(\left[ {6;7} \right) \to 6,5\)

\(\left[ {7;8} \right) \to 7,5\)

Tính số trung bình \(\bar x\):

\(\bar x = \frac{{3 \cdot 0,5 + 9 \cdot 1,5 + 18 \cdot 2,5 + 36 \cdot 3,5 + 21 \cdot 4,5 + 6 \cdot 5,5 + 4 \cdot 6,5 + 3 \cdot 7,5}}{{100}}\)\( = 3,62\) (giờ).

Do đó ý a) sai (đề ghi 3,36 giờ).

Số học sinh sử dụng mạng xã hội ít hơn 4 giờ một ngày tương ứng với các nhóm từ \(\left[ {0;1} \right)\) đến \(\left[ {3;4} \right)\):

\(3 + 9 + 18 + 36 = 66\) (học sinh).

Do đó ý b) sai (đề ghi 36 học sinh).

“Thời gian học sinh sử dụng mạng xã hội nhiều nhất”: ở đây thực chất là tìm giá trị mốt (Mode - \({M_o}\)) của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \(\left[ {3;4} \right)\) với tần số \({n_4} = 36\).

Áp dụng công thức tính mốt, ta được: \({M_o} = 3 + \frac{{36 - 18}}{{\left( {36 - 18} \right) + \left( {36 - 21} \right)}} \cdot 1 = 3 + \frac{{18}}{{18 + 15}} = 3 + \frac{{18}}{{33}} \approx 3,55\) (giờ).

Do đó ý c) đúng.

Để tìm mốc thời gian không quá bao nhiêu giờ mà có 75% số học sinh đạt được, ta cần tìm tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) (vì \({Q_3}\) tương ứng với mốc phân chia sao cho có 75% giá trị nhỏ hơn hoặc bằng nó).

Ta có \(\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 100}}{4} = 75\).

Ta tính tần số tích lũy:

Đến nhóm \(\left[ {2;3} \right)\): tích lũy là \(3 + 9 + 18 = 30\).

Đến nhóm \(\left[ {3;4} \right)\): tích lũy là \(30 + 36 = 66\).

Đến nhóm \(\left[ {4;5} \right)\): tích lũy là \(66 + 21 = 87\).

Vì \(66 < 75 \le 87\), nên nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \(\left[ {4;5} \right)\).

Áp dụng công thức tính tứ phân vị: \({Q_3} = 4 + \frac{{75 - 66}}{{21}} \cdot 1 = 4 + \frac{9}{{21}} = 4 + \frac{3}{7} \approx 4,43\) (giờ).

Do đó ý d) đúng.

Kết luận:

a) SAI b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG