Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB{\rm{//}}CD\) và \(AB = 2DC\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh \(OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(MG\) với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh diện tích của tam giác \[OMG\] bằng diện tích của tam giác \(OKG\). 

a) Ta có \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\): \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Mặt khác, trong hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song với nhau.

Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

b) Do \(AB{\rm{//}}CD\), theo định lý Thales trong tam giác đối đỉnh tạo bởi giao điểm \(O\) của hai đường chéo hình thang, ta có: \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}}\).

Theo giả thiết \(AB = 2DC \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = 2\). Do đó: \(\frac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Xét cạnh \(AB\): vì \(M \in AB\) và \(AM = 2MB\), ta có: \(AM = \frac{2}{3}AB \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Trong tam giác \(ABC\), xét hai tỉ số trên các cạnh \(AC\) và \(AB\): \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(ABC\), ta suy ra: \(OM{\rm{//}}BC\).

Mặt khác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OM{\rm{//}}BC}\\{BC \subset \left( {SBC} \right)}\\{OM \not\subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) (đpcm).

c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SC\) và \(F\) là giao điểm của \[OG\] và \(SA\).

Ta có: \(\frac{{AG}}{{GN}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 2\) (\(G\) là trọng tâm giác \(SAC\)) \( \Rightarrow OG{\rm{//}}SC \Rightarrow OF{\rm{//}}SC\).

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{FS}} = \frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AM}}{{MB}} \Rightarrow MF{\rm{//}}SB\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF{\rm{//}}SB}\\{\left( {SBD} \right) \cap \left( {OMG} \right) = OK}\end{array}} \right. \Rightarrow OK{\rm{//}}SB{\rm{//}}MF\)\( \Rightarrow \frac{{MG}}{{GK}} = \frac{{FG}}{{GO}} = \frac{{SN}}{{NC}} = 1\).

Vậy \(\frac{{{S_{OMG}}}}{{{S_{OKG}}}} = \frac{{MG}}{{GK}} = 1\).