Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BD,CD,AD\) (xem hình vẽ sau).

Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

Dựa vào định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (không cùng nằm trong một mặt phẳng):

• \(AD\) và \(SA\) cắt nhau tại điểm \(A\).
• \(AD\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(D\).
• \(AD\) và \(BC\) cùng nằm trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Vì đáy là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song nên hai đường thẳng này cắt nhau khi kéo dài.
• \(AD\) và \(SB\) không đồng phẳng (không cùng thuộc bất kỳ mặt phẳng nào), do đó chúng chéo nhau.

a) SAI. Vì đường thẳng \(SA\) cắt mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\) mà điểm \(A\) không nằm trên đường thẳng \(MD\). Do đó, hai đường thẳng \(SA\) và \(MD\) chéo nhau.

b) ĐÚNG. Do đáy \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC{\rm{//}}AD\). Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và \(BC \not\subset \left( {SAD} \right)\), suy ra \(BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).

c) ĐÚNG. Điểm \(M \in BC \subset \left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song với \(AB\) (trong đó \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\)) phải nằm trọn vẹn trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

d) SAI. Xác định hình dáng và kích thước thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\):

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(AD\) tại \(N\). Do đó \(MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\). Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(5\) nên \(MN = 5\). Ta có \(AN = BM = 2 \Rightarrow ND = 5 - 2 = 3\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SB\), cắt \(SC\) tại \(P\). Theo định lý Thales: \(\frac{{MP}}{{SB}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{5 - 2}}{5} = \frac{3}{5} \Rightarrow MP = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(SD\) tại \(Q\). Theo định lý Thales: \(\frac{{NQ}}{{SA}} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{3}{5} \Rightarrow NQ = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\).

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) nên giao tuyến \(PQ\) với mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) phải song song với \(AB\) và \(CD\). Theo định lý Thales: \(\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{5} \Rightarrow PQ = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2\).

Thiết diện thu được là một hình thang cân \(MNQP\) có đáy lớn \(MN = 5\), đáy nhỏ \(PQ = 2\), và hai cạnh bên bằng nhau \(MP = NQ = 3\).

Độ dài hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn là: \(\frac{{5 - 2}}{2} = 1,5\).

Chiều cao của hình thang cân thiết diện: \({h_{ht}} = \sqrt {{3^2} - 1,{5^2}} = \sqrt {9 - 2,25} = \sqrt {6,75} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích đa giác thiết diện là: \({S_{MNQP}} = \frac{{\left( {MN + PQ} \right) \cdot {h_{ht}}}}{2} = \frac{{\left( {5 + 2} \right) \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \frac{{21\sqrt 3 }}{4}\).

Giá trị bài toán đưa ra là \(\frac{{7\sqrt 3 }}{4}\) nên khẳng định này sai.