Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(1\). Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông \(ABCD\) ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba, tiếp tục như thế ta được một dãy các hình vuông.
a. Độ dài cạnh của hình vuông thứ 2 bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b. Độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) bằng \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\).
c. Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng \({u_n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\).
d. Tổng chu vi của dãy hình vuông đó bằng \(a + b\sqrt 2 \) (\(a,b\) là các số nguyên), khi đó \(a + b = 12\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cạnh hình vuông thứ nhất: \({a_1} = 1\).
Cạnh hình vuông thứ hai là độ dài đoạn thẳng nối 2 trung điểm của 2 cạnh kề nhau của hình vuông thứ nhất: \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Do đó a) ĐÚNG.
Theo quy luật, cạnh hình vuông tiếp theo bằng cạnh hình vuông trước đó nhân với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = {a_1} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 1 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\). Phát biểu ghi là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\) nên b) SAI.
Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng: \({u_n} = 4 \cdot {a_n} = 4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\).
Biến đổi cụ thể: \(4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 4 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\). Vậy c) ĐÚNG.
Tổng chu vi của tất cả các hình vuông trong dãy là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 4{a_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\):
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{8}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{8\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{4 - 2}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \).
Đối chiếu với dạng \(a + b\sqrt 2 \), ta được \(a = 8\) và \(b = 4\). Khi đó \(a + b = 8 + 4 = 12\). Vậy d) ĐÚNG.
Kết luận:
a) ĐÚNG b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b. Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).
c. Trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) phương trình có 4 nghiệm.
d. Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) bằng \(\pi \).
Lời giải
Biến đổi phương trình: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
a) ĐÚNG: Trùng với họ nghiệm vừa giải.
b) ĐÚNG: Với họ nghiệm thứ nhất, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\). Với họ nghiệm thứ hai, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\). So sánh hai giá trị thì \(\frac{\pi }{4}\) là nghiệm dương nhỏ nhất.
c) SAI: Xét các nghiệm trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\):
Họ nghiệm 1: \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{5}{8} \le k \le \frac{7}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{4}\).
Họ nghiệm 2: \( - \pi \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{7}{8} \le k \le \frac{5}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}\).
Vậy trong đoạn này phương trình chỉ có 2 nghiệm.
d) ĐÚNG: Tổng các nghiệm trong đoạn là \({x_1} + {x_2} = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \pi \).
Kết luận:
a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG
Lời giải
a) Theo giả thiết, \(ABCD\) là hình thang với hai đáy song song là \(AB\) và \(CD\), suy ra \(CD{\rm{//}}AB\).
Mặt khác, đường thẳng \(AB\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(AB \subset \left( {SAB} \right)\)).
Đường thẳng \(CD\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(CD \not\subset \left( {SAB} \right)\)).
Do đó, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta suy ra: \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
b) Trong tam giác \(BCD\), ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(DC\). Do đó, \(MN\) là đường trung bình của \( \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (1).
Trong tam giác \(SCD\), ta có \(N\) là trung điểm của \(DC\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Do đó, \(NP\) là đường trung bình của \( \Rightarrow NP{\rm{//}}SD\).
Mà \(SD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(NP{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (2).
Mặt khác, hai đường thẳng \(MN\) và \(NP\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và cắt nhau tại điểm \(N\).
Từ (1) và (2), theo định lý hai mặt phẳng song song, ta kết luận: \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
c) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(T = AC \cap BD\) và \(O = AC \cap MN\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\), gọi \(H = SO \cap IJ\).
Trong mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\), gọi \(K = SC \cap AH\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in SC}\\{K \in AH,AH \subset \left( {AIJ} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow K = SC \cap \left( {AIJ} \right)\).
Ta cũng có \(AT = OC = OT = \frac{1}{2}TC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Ta có \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\)\( \Rightarrow \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(OE{\rm{//}}AK\) (E thuộc AC).
\({\rm{\Delta }}SOE\) có \(OE{\rm{//}}HK\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = 2KE\quad \left( 1 \right)\).
\({\rm{\Delta }}ACK\) có \(OE{\rm{//}}AK\)\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KE = \frac{2}{3}KC\quad \left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(SK = 2KE = 2 \cdot \frac{2}{3}KC = \frac{4}{3}KC\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{KC}} = \frac{4}{3}\).
Câu 3
\(121\) bậc.
\(122\) bậc.
\(120\) bậc.
\(119\) bậc.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a. Ở doanh nghiệp A, dãy số biểu thị tiền lương qua mỗi quý lập thành một cấp số nhân có \({u_1} = 24\), công bội \(q = 1,8\).
b. Ở doanh nghiệp B, dãy số biểu thị tiền lương qua mỗi năm lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = 150\), công sai \(d = 18\).
c. Tổng số tiền doanh nghiệp B phải trả cho một người lao động trong 10 năm làm việc là 2300 triệu đồng.
d. Một người lao động làm ở doanh nghiệp A trong 10 năm thì tổng số tiền lương nhận được sẽ nhiều hơn khi làm ở doanh nghiệp B cũng trong 10 năm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).
Hàm số không liên tục tại \(x = - 2\).
Hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập