Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(1\). Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông \(ABCD\) ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba, tiếp tục như thế ta được một dãy các hình vuông.

a) Theo giả thiết, \(ABCD\) là hình thang với hai đáy song song là \(AB\) và \(CD\), suy ra \(CD{\rm{//}}AB\).

Mặt khác, đường thẳng \(AB\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(AB \subset \left( {SAB} \right)\)).

Đường thẳng \(CD\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) (\(CD \not\subset \left( {SAB} \right)\)).

Do đó, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta suy ra: \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

b) Trong tam giác \(BCD\), ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(DC\). Do đó, \(MN\) là đường trung bình của \( \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).

Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (1).

Trong tam giác \(SCD\), ta có \(N\) là trung điểm của \(DC\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Do đó, \(NP\) là đường trung bình của \( \Rightarrow NP{\rm{//}}SD\).

Mà \(SD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(NP{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) (2).

Mặt khác, hai đường thẳng \(MN\) và \(NP\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và cắt nhau tại điểm \(N\).

Từ (1) và (2), theo định lý hai mặt phẳng song song, ta kết luận: \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).

c) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(T = AC \cap BD\) và \(O = AC \cap MN\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\), gọi \(H = SO \cap IJ\).

Trong mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\), gọi \(K = SC \cap AH\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in SC}\\{K \in AH,AH \subset \left( {AIJ} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow K = SC \cap \left( {AIJ} \right)\).

Ta cũng có \(AT = OC = OT = \frac{1}{2}TC \Rightarrow \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Ta có \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\)\( \Rightarrow \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(OE{\rm{//}}AK\) (E thuộc AC).

\({\rm{\Delta }}SOE\) có \(OE{\rm{//}}HK\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SH}}{{SO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = 2KE\quad \left( 1 \right)\).

\({\rm{\Delta }}ACK\) có \(OE{\rm{//}}AK\)\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KE = \frac{2}{3}KC\quad \left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(SK = 2KE = 2 \cdot \frac{2}{3}KC = \frac{4}{3}KC\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{KC}} = \frac{4}{3}\).