PHẦN III. (4 điểm) Tự luận.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB{\rm{//}}CD\)), \(DC = 2AB\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm \(BC,DC,SC\).

a) Chứng minh \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

b) Chứng minh \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).

c) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của và . Gọi \(K\) là giao điểm của \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {AIJ} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{KC}}\).

Biến đổi phương trình: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

a) ĐÚNG: Trùng với họ nghiệm vừa giải.

b) ĐÚNG: Với họ nghiệm thứ nhất, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\). Với họ nghiệm thứ hai, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\). So sánh hai giá trị thì \(\frac{\pi }{4}\) là nghiệm dương nhỏ nhất.

c) SAI: Xét các nghiệm trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\):

Họ nghiệm 1: \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{5}{8} \le k \le \frac{7}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{4}\).

Họ nghiệm 2: \( - \pi \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{7}{8} \le k \le \frac{5}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}\).

Vậy trong đoạn này phương trình chỉ có 2 nghiệm.

d) ĐÚNG: Tổng các nghiệm trong đoạn là \({x_1} + {x_2} = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \pi \).

Kết luận:

a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG

Cạnh hình vuông thứ nhất: \({a_1} = 1\).

Cạnh hình vuông thứ hai là độ dài đoạn thẳng nối 2 trung điểm của 2 cạnh kề nhau của hình vuông thứ nhất: \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Do đó a) ĐÚNG.

Theo quy luật, cạnh hình vuông tiếp theo bằng cạnh hình vuông trước đó nhân với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = {a_1} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 1 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\). Phát biểu ghi là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\) nên b) SAI.

Chu vi của hình vuông thứ \(n\) bằng: \({u_n} = 4 \cdot {a_n} = 4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\).

Biến đổi cụ thể: \(4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}} = 4 \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 4\sqrt 2 {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n}\). Vậy c) ĐÚNG.

Tổng chu vi của tất cả các hình vuông trong dãy là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 4{a_1} = 4\) và công bội \(q = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\):

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{8}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{8\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{4 - 2}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \).

Đối chiếu với dạng \(a + b\sqrt 2 \), ta được \(a = 8\) và \(b = 4\). Khi đó \(a + b = 8 + 4 = 12\). Vậy d) ĐÚNG.

Kết luận:

a) ĐÚNG b) SAI c) ĐÚNG d) ĐÚNG