Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (như hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n}\), …. Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\) (\(i \in \left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\)).

Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {S_n} + \ldots \). Biết \(T = 8\), tìm \(a\) (làm tròn đến hàng phần chục).

a) ĐÚNG: Ta có \(BD{\rm{//}}B'D'\) và \(BC'{\rm{//}}AD'\) nên \(\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\).

b) SAI: Hình hộp bất kỳ có các mặt là hình bình hành, chỉ khi là hình hộp chữ nhật thì các mặt mới là hình chữ nhật.

c) ĐÚNG: Do \(AB{\rm{//}}CD\) và \(CD{\rm{//}}C'D'\) nên \(AB{\rm{//}}C'D'\).

d) SAI: Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\), do đó đường thẳng \(A'B\) cắt mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) tại \(B\).

a) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm chung đầu tiên là \(S\).

Mặt khác, ta có \(AB \subset \left( {SAB} \right)\), \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) và \(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

Vậy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d{\rm{\;\;}}\left( {d{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD,S \in d} \right)\).

b) Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M\) là trung điểm \(AB\), nên \(G\) nằm trên trung tuyến \(SM\) và thỏa mãn: \(\frac{{MG}}{{MS}} = \frac{1}{3}\).

Theo giả thiết \(CF = 2MF \Rightarrow MC = MF + FC = MF + 2MF = 3MF \Rightarrow \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong tam giác \(SMC\), ta có: \(\frac{{MG}}{{MS}} = \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra \(GF{\rm{//}}SC\).

c)  Từ câu b, ta đã có \(GF{\rm{//}}SC\). Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(GF{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), qua điểm \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\), cắt cạnh \(AD\) tại \(E'\).

Do \(E'F{\rm{//}}CD\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(E'F{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {E'FG} \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(GF\) và \(E'F\) cùng song song với \(\left( {SCD} \right)\), nên:

                          \(\left( {E'FG} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Suy ra \(E'G{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\). Do đó, điểm \(E\) cần tìm chính là điểm \(E'\).

Khi đó ta có \(EF{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\), theo định lý Thales, ta có: \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AD = 3AE\).

Theo đề bài: \(AD = x \cdot AE \Rightarrow x = 3\).

Kết luận: \(x = 3\).