Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AD{\rm{//}}BC\), \(AD = AB = 4\), \(BC = 8\), đều. Gọi \(Q\) là một điểm bất kỳ trên đoạn \(SB\) (\(Q\) không trùng với \(S\) và \(B\)). Qua \(Q\) dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(SA\) và \(AD\). Biết \(\left( \alpha \right)\) cắt \(AB,CD,SC\) lần lượt tại \(M,N,P\). Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác \(MNPQ\). (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Ÿ Xác định thiết diện \(MNPQ\):

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(SA\) và \(AD\), mà \(SA,AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Tương tự, do \(AD{\rm{//}}BC\) nên \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với \(BC\).

Giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp được xác định như sau:

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\): Qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(AB\) tại \(M \Rightarrow QM{\rm{//}}SA\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\): Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(CD\) tại \(N \Rightarrow MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\): Qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P \Rightarrow QP{\rm{//}}BC{\rm{//}}AD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\): Nối \(P\) với \(N\), ta có \(PN{\rm{//}}SD\).

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN{\rm{//}}QP\) nên \(MNPQ\) là hình thang.

Ÿ Tính độ dài các cạnh của hình thang \(MNPQ\):

Đặt tỉ số \(x = \frac{{SQ}}{{SB}}\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\).

Đoạn \(QP\): Trong , có \(QP{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{QP}}{{BC}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = x \Rightarrow QP = xBC = 8x\).

Đoạn \(QM\): Trong , có \(QM{\rm{//}}SA \Rightarrow \frac{{QM}}{{SA}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x \Rightarrow QM = \left( {1 - x} \right)SA = 4\left( {1 - x} \right)\) (do đều nên \(SA = AD = SD = 4\)).

Đoạn \(PN\): Trong , có \(PN{\rm{//}}SD \Rightarrow \frac{{PN}}{{SD}} = \frac{{PC}}{{SC}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x \Rightarrow PN = 4\left( {1 - x} \right)\).

Đoạn \(MN\): Trong hình thang \(ABCD\) với \(MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) và \(M \in AB\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = x\), \(N \in CD\) thỏa mãn \(\frac{{CN}}{{CD}} = \frac{{CP}}{{CS}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x\). Từ đó suy ra \(MN = \left( {1 - x} \right)AD + xBC = 4\left( {1 - x} \right) + 8x = 4 + 4x\).

Ÿ Tính diện tích hình thang \(MNPQ\):

Do \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right)\) nên góc giữa hai đường thẳng \(QM\) và \(MN\) trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng góc giữa \(SA\) và \(AD\) trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Vì là tam giác đều nên \(\widehat {SAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {QMN} = 60^\circ \).

Hình thang \(MNPQ\) là hình thang cân (do \(QM = PN = 4\left( {1 - x} \right)\)) có:

Chiều cao \(h = QM \cdot \sin 60^\circ = 4\left( {1 - x} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \left( {1 - x} \right)\).

Tổng hai đáy: \(MN + QP = \left( {4 + 4x} \right) + 8x = 4 + 12x\).

Diện tích tứ giác \(MNPQ\) là:

\(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {MN + QP} \right) \cdot h = \frac{1}{2}\left( {4 + 12x} \right) \cdot 2\sqrt 3 \left( {1 - x} \right) = 4\sqrt 3 \left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - x} \right)\)\( = 4\sqrt 3 \left( { - 3{x^2} + 2x + 1} \right)\).

Hàm số \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x + 1\) là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{1}{3} \in \left( {0;1} \right)\), với \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\).

Do đó: \({S_{{\rm{max}}}} = 4\sqrt 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3} \approx 9,2376...\).

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả chính xác là \(9,24\).

Đáp số: 9,24.