Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh \({A_1}{A_2}...{A_{12}}\) (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_{12}}\) sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi \(P\) là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của \(4565P\) bằng bao nhiêu?
Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh \({A_1}{A_2}...{A_{12}}\) (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_{12}}\) sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi \(P\) là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của \(4565P\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đa giác đều 12 cạnh có các đỉnh \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{12}}\).
-
Các hình vuông có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác đều 12 cạnh gồm 3 hình vuông: \(({A_1},{A_4},{A_7},{A_{10}})\);
-
\(({A_2},{A_5},{A_8},{A_{11}})\);
-
\(({A_3},{A_6},{A_9},{A_{12}})\).
Có 4 bóng đỏ và 8 bóng xanh. Ta chỉ cần xét vị trí của 4 bóng đỏ.
Tổng số cách chọn 4 vị trí đặt bóng đỏ trong 12 đỉnh là: \(C_{12}^4 = 495\).
Để mỗi hình vuông đều có ít nhất một bóng đỏ, ta cần chia 4 bóng đỏ vào 3 nhóm đỉnh trên sao cho nhóm nào cũng có ít nhất 1 bóng đỏ.
Số bóng đỏ phân bố vào 3 nhóm phải là: \(2,1,1\).
Chọn nhóm nhận 2 bóng đỏ: có \(3\) cách.
Trong nhóm đó, chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh: \(C_4^2 = 6\) cách.
Hai nhóm còn lại, mỗi nhóm chọn 1 đỉnh trong 4 đỉnh: \(4 \cdot 4 = 16\) cách.
Vậy số cách thuận lợi là: \(3 \cdot 6 \cdot 16 = 288\).
Do đó: \(P = \frac{{288}}{{495}} = \frac{{32}}{{55}}\).
Suy ra: \(4565P = 4565 \cdot \frac{{32}}{{55}} = 83 \cdot 32 = 2656\).
Đáp án: \(2656\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Cho hình lập phương \(ABCD.MNPQ\) có cạnh bằng \(14\).
Đặt hệ tọa độ: \(A(0;0;0)\), \(B(14;0;0)\), \(D(0;14;0)\), \(M(0;0;14)\).
Khi đó: \(P(14;14;14)\).
Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên: \(E(7;0;0)\).
Ta cần tính khoảng cách từ \(P\) đến mặt phẳng \((MED)\).
Mặt phẳng đi qua: \(M(0;0;14)\), \(E(7;0;0)\), \(D(0;14;0)\).
Từ đó lập được phương trình mặt phẳng dạng: \(2x + y + z - 14 = 0\).
Khoảng cách từ \(P(14;14;14)\) đến mặt phẳng là: \(d = \frac{{|2 \cdot 14 + 14 + 14 - 14|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}\)
\(d = \frac{{42}}{{\sqrt 6 }} = 7\sqrt 6 \approx 17,146\).
Làm tròn đến hàng phần mười: \(d \approx 17,1\).
Đáp án: \(17,1\).
Câu 2
Lời giải
Ta có: \(M(2;11;3)\), \(N(14;2;3)\).
a) \(\overrightarrow {MN} = (14 - 2;2 - 11;3 - 3) = (12; - 9;0)\).
Mệnh đề đúng.
a) Đúng.
b) Đường thẳng \(MN\) có thể viết: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 12t\\y = 11 - 9t\\z = 3\end{array} \right.}\end{array}\)
hoặc rút gọn vectơ chỉ phương \((12; - 9;0) = 3(4; - 3;0)\): \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 11 - 3t\\z = 3\end{array} \right.}\end{array}\)
Đề cho \(z = 0\), trong khi điểm \(M,N\) đều có \(z = 3\).
b) Sai.
c) Vành đai là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(6\), nằm trong mặt phẳng \((Oxy)\).
Máy bay bay trên đoạn từ \(M\) đến \(N\): \(M(2;11;3)\) đến \(N(14;2;3)\).
Gọi điểm bất kì trên đoạn bay là: \(A(t) = (2 + 12t;11 - 9t;3)\), \(0 \le t \le 1\).
Khoảng cách từ hình chiếu của máy bay xuống mặt phẳng \((Oxy)\) đến \(O\) là: \(r(t) = \sqrt {{{(2 + 12t)}^2} + {{(11 - 9t)}^2}} \).
Tìm \(r(t)\) nhỏ nhất.
Xét: \({r^2}(t) = {(2 + 12t)^2} + {(11 - 9t)^2}\).
Đạo hàm hoặc khai triển sẽ được giá trị nhỏ nhất tại: \(t = \frac{1}{3}\).
Khi đó: \(x = 2 + 12 \cdot \frac{1}{3} = 6\),
\(y = 11 - 9 \cdot \frac{1}{3} = 8\),
\(z = 3\).
Ta có: \(r = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\).
Khoảng cách từ máy bay đến vành đai là: \(\sqrt {{{(10 - 6)}^2} + {3^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5\) đơn vị.
Mỗi đơn vị ứng với \(10\) mét nên khoảng cách nhỏ nhất là: \(5 \cdot 10 = 50\) mét.
Đề nói \(100\) mét nên sai.
c) Sai.
d) Theo câu c), khoảng cách nhỏ nhất đạt được khi máy bay ở vị trí: \((6;8;3)\).
d) Đúng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập