Cho phương trình \({x^2} = \sqrt {x + 1} \,\,\,(1)\) và phương trình x³ – 3x + 1 = 0   (2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện xác định của phương trình (1) là x $\ge$ -1.

b) Đúng. Ta có (1) $\iff$ \({x^2} - \sqrt {x + 1} \,\, = 0\). Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - \sqrt {x + 1} \,\,\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1 - \sqrt 2 < 0\\f\left( 2 \right) = 4 - \sqrt 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0\)

Hàm số y = f(x) liên tục trên (-1; +$\infty$) do đó liên tục trên đoạn [1; 2].

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Đặt g(x) = x³ – 3x + 1. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = - 1\\g\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 1 \right) \cdot g\left( 2 \right) < 0\)

Hàm số y = g(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ do đó liên tục trên [1; 2].

Phương trình g(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2).   \[\]

c) Sai. Xét trên khoảng (-1; 0).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0).

Xét khoảng (-2; 1).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 2} \right) = - 1\\g\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 2} \right) \cdot g\left( 1 \right) < 0\) nên phương g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

Xét khoảng (0; 1).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = 1\\g\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 0 \right) \cdot g\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

Xét khoảng (1; 2).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = - 1\\g\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 1 \right) \cdot g\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Phương trình g(x) = 0 có nghiệm trên các khoảng (-2; -1); (0; 1), (1; 2).  

Mặt khác, phương trình (2) là phương trình bậc 3 nên có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt và (-2; -1); (0; 1), (1; 2) là các khoảng rời nhau. Do đó, phương trình (2) có nghiệm phân biệt thuộc 3 khoảng này.

Phương trình (2) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).

d) Sai. Từ ý b và c suy ra: phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.