Cho hàm số y = f(x) = x³ + ax² + bx + c (a, b, c là các số thực). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 liên tục trên ℝ.

Suy ra hàm số liên tục trên [-2; 0].

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 18\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; 0).

b) Đúng. Ta có hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 liên tục trên ℝ.

Suy ra hàm số liên tục trên [-2; 3].

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 18\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; 0).

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2).

Do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-2; 3).

c) Sai. Đặt f(x) = x³ + ax² + bx + c. Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 8 + 4a + 2b + c < 0\\f\left( { - 2} \right) = - 8 + 4a - 2b + c > 0\end{array} \right.\)

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) < 0\\f\left( { - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) \cdot f\left( { - 2} \right) < 0\) $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (-2; 2).

\[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \end{array} \right.\] $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (2; +$\infty$).

\[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \end{array} \right.\] $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (-$\infty$; -2).

Mà hàm số f(x) là hàm bậc 3 nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm.

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại đúng 3 điểm.

d) Đúng. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc 3 nên đồ thị hàm số liên tục trên ℝ và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3.

Theo đề bài, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)

y(-1) = a + c – b > 1, y(1) = a + b + c + 1 < 0.

Do đó, hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (-$\infty$; -1); (-1; 1), (1; +$\infty$).

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3.