Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = 2\) (với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa).
a) Đẳng thức đã cho tương đương \(\frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2\).
b) tanα = 5.
c) Khi tanα nhận giá trị đó, biểu thức F = sin2α + 3sinαcosα có giá trị bằng \(\frac{4}{{13}}\).
d) Giá trị của biểu thức \(G = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) bằng \(\frac{{26}}{{25}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Chia cả tử và mẫu vế trái cho cosα ≠ 0 ta được:
\(\frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2\).
b) Đúng. \(\frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\tan \alpha - 1 = 2\left( {\tan \alpha + 2} \right) \Leftrightarrow \tan \alpha = 5\).
c) Sai. Chia biểu thức \(F\) cho sin2α + cos2α = 1 ta được
\[F = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 1}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\].
Thay \(\tan \alpha = 5 \Rightarrow F = \frac{{{5^2} + 3 \cdot 5}}{{{5^2} + 1}} = \frac{{40}}{{26}} = \frac{{20}}{{13}}\).
d) Đúng. Ta có \(G = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).
Vì \(\tan \alpha = 5 \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow G = 1 + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{25}} = \frac{{26}}{{25}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \( - 2 - \sqrt 3 \);
B. \(2 + \sqrt 3 \);
C. \( - 2 - \sqrt 3 \);
D. \(2 - \sqrt 3 \).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 – sin2 x.
⇒ cos x = \( \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Vì cos x nhận giá trị âm nên cos x = \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó A = \(\frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 2 - \sqrt 3 \).
Câu 2
A. 4sin2 α + 2cos2 α = 3;
B. 4sin2 α + 2cos2 α = – 3;
C. 4sin α + 2cos α = \(\frac{{8 - 2\sqrt 5 }}{3}\);
D. 4sin α + 2cos α = \(\frac{{8 + 2\sqrt 5 }}{3}\).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 – sin2 α.
⇒ cos α = \( \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\)
Mà 90° < α < 180° nên cos α < 0 ⇒ cos α = \( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Do đó 4sin2 α + 2cos2 α = \(4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} = \frac{{26}}{9};\)
4sin α + 2cos α = \(4.\frac{2}{3} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = \frac{{8 - 2\sqrt 5 }}{3}.\)
Câu 3
A. 9;
B. 8;
C. 7;
D. 23.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập