Trên một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh a, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh sao cho \(BM = \frac{1}{2}BC\), \(DN = \frac{1}{3}DC\).

Khi đó:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.Trong tam giác vuômg ABM, \(\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Trong tam giác vuông AND, \(\tan \widehat {DAN} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot \tan \widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1\).

b) Đúng. Do \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 1\) nên \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \).

Nên \(\widehat {MAN} = 90^\circ - \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 45^\circ \).

Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.

c) Sai. \(BM = CM = \frac{1}{2}CB = \frac{a}{2}\), \(CN = \frac{2}{3}DC = \frac{{2a}}{3}\), \(DN = \frac{1}{3}CD = \frac{a}{3}\).

Ta có S_ABCD = a².

Tam giác ABM vuông tại B nên \({S_{ABM}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

Tam giác AND vuông tại D nên \({S_{ADN}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Tam giác CMN vuông tại C nên \({S_{CMN}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{ABM}} + {S_{ADN}} + {S_{MCN}}} \right) = {a^2} - \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{6}} \right)\)

\( = {a^2} - \left( {\frac{{3{a^2} + 2{a^2} + 2{a^2}}}{{12}}} \right) = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\).

Gọi diện tích vùng đất không được chiếu sáng là S₁.

Khi đó:\({S_1} = {S_{ABM}} + {S_{ADN}} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\).

Gọi diện tích vùng đất được chiếu sáng là S_2.

Khi đó \({S_2} = {S_{AMN}} + {S_{CMN}} = \frac{{5{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\).

Tỷ số vùng đất được chiếu sáng và vùng đất không được chiếu sáng là: \(k = \frac{{7{a^2}}}{{12}}:\frac{{5{a^2}}}{{12}} = \frac{7}{5}\).

d) Đúng.

\(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \tan 45^\circ \Rightarrow \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = 1 \Leftrightarrow 1 - \tan \alpha \tan \beta = \tan \alpha + \tan \beta \)

\( \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \cdot \tan \beta = 1\).

P = (1 + tanα)(1 + tanβ) = 1+ tanβ + tanα + tanα∙tanβ = 1 + 1 = 2.