Cho hai tia \(Ax,By\) với \(AB = 100{\rm{\;cm}}\), \(\widehat {xAB} = 45^\circ \) và \(By \bot AB\). Chất điểm \(X\) chuyển động trên tia \(Ax\) bắt đầu từ \(A\) với vận tốc \(3\sqrt 2 {\rm{\;cm/s}}\), cùng lúc đó chất điểm \(Y\) chuyển động trên tia \(By\) bắt đầu từ \(B\) với vận tốc \(4{\rm{\;cm/s}}\). Sau \(t\) (giây) chất điểm \(X\) di chuyển được đoạn đường \(AM\), chất điểm \(Y\) di chuyển được đoạn đường \(BN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho hai tia \(Ax,By\) với \(AB = 100{\rm{\;cm}}\), \(\widehat {xAB} = 45^\circ \) và \(By \bot AB\). Chất điểm \(X\) chuyển động trên tia \(Ax\) bắt đầu từ \(A\) với vận tốc \(3\sqrt 2 {\rm{\;cm/s}}\), cùng lúc đó chất điểm \(Y\) chuyển động trên tia \(By\) bắt đầu từ \(B\) với vận tốc \(4{\rm{\;cm/s}}\). Sau \(t\) (giây) chất điểm \(X\) di chuyển được đoạn đường \(AM\), chất điểm \(Y\) di chuyển được đoạn đường \(BN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Sau thời gian \(t \ge 0\) (giây):
Quãng đường \(AM\) chất điểm \(X\) đi được: \(AM = 3\sqrt 2 t{\rm{\;(cm)}}\).
Quãng đường \(BN\) chất điểm \(Y\) đi được: \(BN = 4t{\rm{\;(cm)}}\).
Gọi \(Ax \cap By = C\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat A = 45^\circ ,AB = 100\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).
Do đó \(BC = AB = 100\); \(AC = \frac{{AB}}{{\cos A}} = \frac{{100}}{{\cos 45^\circ }} = 100\sqrt 2 \) và \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).
Khi đó \(CM = AC - AM = 100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t\) và \(CN = BC - BN = 100 - 4t\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(CMN\) có \(\widehat {MCN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) ta có:
\(M{N^2} = C{M^2} + C{N^2} - 2CM \cdot CN \cdot \cos 45^\circ \)
\( = {\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right)^2} + {\left( {100 - 4t} \right)^2} - 2\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right) \cdot \left( {100 - 4t} \right) \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( = 10{t^2} - 600t + 10000\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 10{t^2} - 600t + 10000\) với \(t \ge 0\):
Đây là một tam thức bậc hai có hệ số \(a = 10 > 0\), đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 600}}{{2 \cdot 10}} = 30\).
Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) là: \(f\left( {30} \right) = 10 \cdot {30^2} - 600 \cdot 30 + 10000 = 1000\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là: \(M{N_{{\rm{min}}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} \approx 32{\rm{\;cm}}\) khi \(t = 30\) giây.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Ta có \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).
Suy ra \(AB = \frac{{AC \cdot \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{6 \cdot \sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }}\)\( = \frac{{6 \cdot \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 3 \cdot \left( {\sqrt 3 + 1} \right) \approx 8,196{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Làm tròn đến hàng phần mười thu được \(8,2{\rm{\;cm}}\).
Đáp số: \(8,2\).
Câu 2
Lời giải
a) Đúng. Vì \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Do đó \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \) là hai vectơ đối nhau, suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\).
b) Đúng. Áp dụng quy tắc ba điểm đối với cộng vectơ, ta có: \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DC} \).
c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \). Hai vectơ \[\overrightarrow {BA} \] và \(\overrightarrow {BC} \) có chung điểm đầu \(B\), do đó góc giữa hai vectơ là \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 90^\circ \ne 30^\circ \).
d) Đúng. Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh \(a\) là \(AC = a\sqrt 2 \). Do đó: \(\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập