Cho hai tia \(Ax,By\) với \(AB = 100{\rm{\;cm}}\), \(\widehat {xAB} = 45^\circ \) và \(By \bot AB\). Chất điểm \(X\) chuyển động trên tia \(Ax\) bắt đầu từ \(A\) với vận tốc \(3\sqrt 2 {\rm{\;cm/s}}\), cùng lúc đó chất điểm \(Y\) chuyển động trên tia \(By\) bắt đầu từ \(B\) với vận tốc \(4{\rm{\;cm/s}}\). Sau \(t\) (giây) chất điểm \(X\) di chuyển được đoạn đường \(AM\), chất điểm \(Y\) di chuyển được đoạn đường \(BN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho hai tia \(Ax,By\) với \(AB = 100{\rm{\;cm}}\), \(\widehat {xAB} = 45^\circ \) và \(By \bot AB\). Chất điểm \(X\) chuyển động trên tia \(Ax\) bắt đầu từ \(A\) với vận tốc \(3\sqrt 2 {\rm{\;cm/s}}\), cùng lúc đó chất điểm \(Y\) chuyển động trên tia \(By\) bắt đầu từ \(B\) với vận tốc \(4{\rm{\;cm/s}}\). Sau \(t\) (giây) chất điểm \(X\) di chuyển được đoạn đường \(AM\), chất điểm \(Y\) di chuyển được đoạn đường \(BN\). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Sau thời gian \(t \ge 0\) (giây):
Quãng đường \(AM\) chất điểm \(X\) đi được: \(AM = 3\sqrt 2 t{\rm{\;(cm)}}\).
Quãng đường \(BN\) chất điểm \(Y\) đi được: \(BN = 4t{\rm{\;(cm)}}\).
Gọi \(Ax \cap By = C\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat A = 45^\circ ,AB = 100\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).
Do đó \(BC = AB = 100\); \(AC = \frac{{AB}}{{\cos A}} = \frac{{100}}{{\cos 45^\circ }} = 100\sqrt 2 \) và \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).
Khi đó \(CM = AC - AM = 100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t\) và \(CN = BC - BN = 100 - 4t\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(CMN\) có \(\widehat {MCN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) ta có:
\(M{N^2} = C{M^2} + C{N^2} - 2CM \cdot CN \cdot \cos 45^\circ \)
\( = {\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right)^2} + {\left( {100 - 4t} \right)^2} - 2\left( {100\sqrt 2 - 3\sqrt 2 t} \right) \cdot \left( {100 - 4t} \right) \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( = 10{t^2} - 600t + 10000\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 10{t^2} - 600t + 10000\) với \(t \ge 0\):
Đây là một tam thức bậc hai có hệ số \(a = 10 > 0\), đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 600}}{{2 \cdot 10}} = 30\).
Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) là: \(f\left( {30} \right) = 10 \cdot {30^2} - 600 \cdot 30 + 10000 = 1000\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là: \(M{N_{{\rm{min}}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} \approx 32{\rm{\;cm}}\) khi \(t = 30\) giây.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) và nửa chu vi \(p\) là: \(S = p \cdot r\).
Do đó, phương án B là mệnh đề đúng.
Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BD} \) chính bằng độ dài đoạn thẳng \(BD\): \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\). Áp dụng định lý Định lý Pythagorae trong tam giác vuông \(ABD\) ta được \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {25 + 144} = \sqrt {169} = 13\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 13\).
Chọn D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập