(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(BC = 2a\).
a) Tính độ dài của vectơ \(\vec u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
b) Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\).
a) Tính độ dài của vectơ \(\vec u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
b) Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore:
\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = \sqrt {3{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Do đó: \(\left| {\vec u\left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 3 \).
b) Biến đổi vế phải: \(3\left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {CB} } \right| = 3BC = 3 \cdot 2a = 6a\).
Biến đổi vế trái:
Gọi \(G\) là điểm cố định thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + 4\overrightarrow {GC} = \vec 0\).
Khi đó, với mọi điểm \(M\):
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\( = 6\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + 4\overrightarrow {GC} } \right) = 6\overrightarrow {MG} \).
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \left| = \right|6\overrightarrow {MG} } \right| = 6MG\)
Đẳng thức đã cho trở thành: \(6MG = 6a \Rightarrow MG = a\).
Vì \(G\) là điểm cố định nên tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(R = a\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Theo định lý Cô-sin trong tam giác \(ABC\), ta có công thức tính độ dài cạnh \(a\):
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).
Chọn A.
Câu 2
Lời giải
Diện tích tam giác \(ABC\) được tính theo công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A\).
Thay số: \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\).
Chọn D.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập