Cho hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Sai. Ta có MN // AC; PQ // AC suy ra MN // PQ.

NP // BD; BD // MQ suy ra NP // MQ.

Do đó MNPQ là hình hình hành.

Gọi K là giao điểm của DB và MN, L là giao điểm NP và AC.

Ta có NP // BD nên \(\widehat {PNK} = \widehat {BKN}\) (so le trong);

MN // AC nên \(\widehat {BKN} = \widehat {KOL}\) (đồng vị)

Suy ra \(\widehat {PNK} = \widehat {KOL}\).

ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD, suy ra \(\widehat {KOL} \ne 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \).

Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật cần có góc vuông, mà \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \) nên MPNQ không phải hình chữ nhật.

c) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ = NP.

d) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {ABD} = \widehat {BDC} = \widehat {NPC}\).

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆CNP vuông tại C có:

MQ = NP và \(\widehat {AMQ} = \widehat {NPC}\)

Do đó ∆AMQ = ∆CNP (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AQ = CN.

Xét tứ giác AQCN có AQ // CN và AQ = CN nên AQCN là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của NQ.

Theo c) có MNPQ là hình bình hành nên MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của NQ nên O là trung điểm của MP.

Như vậy bốn đường AC, BD, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay bốn đường này đồng quy.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tam giác OAB có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\widehat {OAB} = \widehat {OBA}} \right)\) nên là tam giác cân tại O.

b) Sai. Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Mà AC = 2OA và BD = 2OB nên AC = BD.

Điều này không chứng minh được AC và BD vuông góc với nhau.

c) Sai. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, không phải hình thoi.

d) Đúng. Theo chứng minh ở ý c), ABCD là hình chữ nhật suy ra \(\widehat A = 90^\circ \).