Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC (biết rằng các trực tâm này không trùng với các đỉnh của tam giác ABC và SBC). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a. BC ⊥ (SAH).
b. SB ⊥ (CHK).
c. HK ⊥ (SBC).
d. BC ⊥ (SAB).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Gọi M là chân đường cao hạ từ S xuống BC trong △SBC ⇒ SM ⊥ BC
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC
Mặt khác, H là trực tâm của △SBC nên SH ⊥ BC
Ta có: BC ⊥ SA và BC ⊥ SH, mà SA, SH ⊂ (SAH) cắt nhau tại S
⇒ BC ⊥ (SAH).
b) Đúng. Vì K là trực tâm của tam giác ABC nên CK ⊥ AB
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ CK
Ta có: CK ⊥ AB và CK ⊥ SA, mà AB, SA ⊂ (SAB) cắt nhau tại A
⇒ CK ⊥ (SAB)
Vì SB ⊂ (SAB) nên CK ⊥ SB (1)
Mặt khác, H là trực tâm của tam giác SBC nên CH ⊥ SB (2)
Từ (1), (2) ⇒ SB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CK và CH cùng nằm trong mặt phẳng (CHK)
Do đó, SB ⊥ (CHK).
c) Đúng. Theo chứng minh câu b), ta có: SB ⊥ (CHK)
Vì HK ⊂ (CHK) nên SB ⊥ HK (3)
Mặt khác, theo chứng minh câu a), ta có: BC ⊥ (SAH)
Vì H là trực tâm của △SBC nên H ∈ SM. Do đó, mặt phẳng (SAH) chính là mặt phẳng (SAM) ⇒ BC ⊥ (SAM), AM ⊂ (SAM) ⇒ BC ⊥ AM
Mặt khác, K là trực tâm △ABC nên AK ⊥ BC. Qua điểm A trong mặt phẳng (ABC) chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với BC, do đó ba điểm A, K, M thẳng hàng, hay K ∈ AM ⊂ (SAM)
Vì H ∈ SM ⊂ (SAM) và K ∈ AM ⊂ (SAM) nên đường thẳng HK ⊂ (SAM)
Do BC ⊥ (SAM) nên BC ⊥ HK (4)
Từ (3), (4) ⇒ HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SB và BC cùng nằm trong mặt phẳng (SBC)
Do đó, HK ⊥ (SBC)
d) Sai. Giả sử BC ⊥ (SAB), vì AB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AB, tức là △ABC vuông tại B
Nếu BC ⊥ (SAB) thì BC ⊥ AB, khi đó trực tâm K của △ABC sẽ trùng với đỉnh B, trái với giả thiết "trực tâm không trùng với các đỉnh của tam giác".
Do đó, mệnh đề BC ⊥ (SAB) là sai.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên
Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJ = BC = a
∆SCD là tam giác vuông cân đỉnh S ⇒ SJ = =
Do đó, SJ2 + SI2 = IJ2 = a2 ⇒ ∆SIJ vuông tại S.
Do ∆SCD cân tại S nên SJ ⊥ CD
Do AB // CD ⇒ SJ ⊥ (SAB)
Chứng minh tương tự ta có SI ⊥ (SCD)
⇒ SI ⊥ CD
Mà CD ⊥ IJ ⇒ CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ SH
Do SH ⊥ IJ ⇒ SH ⊥ (ABCD).
Câu 2
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI
M là trọng tâm tam giác ABC nên AH giao CI tại M
Ta có:
Do đó, MN // SH
Mặt khác, SH ⊥ (ABC) nên MN ⊥ (ABC). Suy ra MN vuông góc với AB.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập